Ho una nozione di base sull'aritmetica degli intervalli (IA), ma sembra essere un ramo molto interessante della scienza computazionale sia teoricamente che praticamente. È chiaro che le applicazioni ovvie sono computazioni verificate e problemi sbagliati, ma questo è troppo astratto. Dato che ci sono molte persone coinvolte nei calcoli applicati qui, sono curioso di conoscere i problemi del mondo reale che sono difficili o impossibili da risolvere senza IA .
Risposte:
Questa risposta risponde in parte al commento di JackPoulson (perché è lungo) e in parte risponde alla domanda.
L'intervallo aritmetico è una procedura computazionale per fornire limiti rigorosi su quantità calcolate, solo nel senso che l'estensione dell'intervallo di una funzione a valore reale su un intervallo racchiude l'immagine di quella funzione nello stesso intervallo. Senza calcolare nulla, l'aritmetica degli intervalli non può darti alcuna idea di quali fattori influenzino l'errore numerico in un calcolo, mentre i teoremi nel libro di Higham e altri ti danno un'idea dei fattori che influenzano l'errore numerico, a scapito di limiti potenzialmente deboli. Certo, i limiti ottenuti usando l'aritmetica di intervallo possono anche essere deboli, a causa del cosiddetto problema di dipendenza , ma a volte sono molto più forti. Ad esempio, i limiti di intervallo ottenuti utilizzando il pacchetto di integrazione COSY Infinitysono molto più restrittivi dei tipi di limiti di errore che otterresti sull'integrazione numerica dai risultati di Dahlquist (vedi Hairer, Wanner e Nørsett per i dettagli); questi risultati (in particolare mi riferisco ai teoremi 10.2 e 10.6 nella parte I) forniscono maggiori informazioni sulle fonti di errore, ma i limiti sono deboli, mentre i limiti che usano COZY possono essere stretti. (Usano diversi trucchi per mitigare i problemi di dipendenza.)
Esito a usare la parola "prova" per descrivere l'aritmetica dell'intervallo. Esistono prove che coinvolgono l'aritmetica degli intervalli, ma il calcolo dei risultati usando l'aritmetica degli intervalli con arrotondamento verso l'esterno è in realtà solo un mezzo di contabilità per limitare in modo conservativo l'intervallo di una funzione. I calcoli aritmetici a intervalli non sono prove; sono un modo per propagare l'incertezza.
Per quanto riguarda le applicazioni, oltre al lavoro di Stadtherr in ingegneria chimica, l'aritmetica a intervalli è stata anche utilizzata per calcolare i limiti per gli esperimenti sul fascio di particelle (vedi il lavoro di Makino e Berz, collegati al sito web COSY Infinity), sono stati utilizzato nell'ottimizzazione globale e nelle applicazioni di progettazione di ingegneria chimica (tra gli altri) di Barton (il collegamento è a un elenco di pubblicazioni), la progettazione di veicoli spaziali e l'ottimizzazione globale (tra gli altri) di Neumaier (di nuovo, il collegamento è a un elenco di pubblicazioni ), ottimizzatori globali e risolutori di equazioni non lineari di Kearfott (un altro elenco di pubblicazioni) e per quantificazione dell'incertezza (varie fonti; Barton è uno di questi).
Infine, un disclaimer: Barton è uno dei miei consiglieri di tesi.
L'intervallo aritmetico ti dà una prova con rigore matematico.
Buoni esempi di applicazioni reali sono il lavoro di Mark Stadtherr e del suo gruppo di ricerca. In particolare, i calcoli di equilibrio di fase e stabilità sono risolti con successo con metodi a intervalli.
Una bella raccolta di parametri di riferimento, con riferimento al loro background fisico, si trova sul sito web ALIAS .
Un'altra caratteristica dell'aritmetica degli intervalli e delle sue generalizzazioni è che consente l' esplorazione adattiva del dominio di una funzione. Può quindi essere utilizzato per la modellazione geometrica adattiva, l'elaborazione e il rendering, solo per prendere esempi dalla computer grafica.
I metodi a intervalli sono comparsi in alcune recenti prove di duri teoremi matematici come l'esistenza del caos nell'attrattore di Lorenz e la congettura di Keplero. Vedi http://www.cs.utep.edu/interval-comp/kearfottPopular.pdf per queste e altre applicazioni.
L'intervallo aritmetico è molto utile per gli algoritmi geometrici. Tali algoritmi geometrici prendono come input un insieme di oggetti geometrici (ad esempio un insieme di punti) e costruiscono una struttura di dati combinatori (ad esempio una triangolazione) basata su relazioni spaziali tra i punti. Questi algoritmi dipendono da un numero limitato di funzioni, chiamate "predicati", che accettano come input un numero fisso di oggetti geometrici e restituiscono un valore discreto (in genere uno di "sopra, allineato, sotto"). Tali predicati corrispondono tipicamente al segno di un determinante delle coordinate del punto.
L'uso di numeri a virgola mobile standard non è sufficiente, poiché potrebbe non riuscire a calcolare con precisione il segno del determinante, e ancora peggio, restituire risultati incoerenti (vale a dire, dicendo che A è sopra B E B è sopra A, facendo in modo che l'algoritmo crei un pasticcio invece di una maglia!). L'uso sistematico della multi-precisione (come nella libreria Gnu Multi-Precision e la sua estensione MPFR ai numeri in virgola mobile multi-precisione) funziona ma causa una penalità significativa per le prestazioni. Quando il predicato geometrico è il segno di qualcosa (come nella maggior parte dei casi), l'uso dell'aritmetica degli intervalli consente di eseguire un calcolo più veloce, quindi avviare il calcolo multi-precisione più espansivo se lo zero è nell'intervallo.
Tale approccio viene utilizzato in numerosi grandi codici di geometria computazionale (ad es. CGAL).