Come gestire le condizioni al contorno curve quando si utilizza il metodo della differenza finita?

Sto cercando di imparare a risolvere numericamente PDE da solo.

Ho iniziato con il metodo delle differenze finite (FDM) da qualche tempo perché ho sentito che FDM è il fondamento di numerosi metodi numerici per PDE. Finora ho una conoscenza di base di FDM e sono stato in grado di scrivere codici per alcuni semplici PDE in regioni regolari con i materiali che ho trovato in biblioteca e su Internet, ma la cosa strana è che quei materiali che di solito parlano poco sul trattamento di confini irregolari, curvi, strani, come questo .

Inoltre, non ho mai visto un modo semplice per affrontare il confine curvo. Ad esempio, il libro Numerical Solution of Partial Differential Equations - An Introduction (Morton K., Mayers D) , che contiene la discussione più dettagliata (principalmente in 3.4 da p71 e 6.4 da p199) che ho visto fino ad ora, è passato a un'estrapolazione che è davvero ingombrante e frustrante per me.

Quindi, come richiesto dal titolo, per quanto riguarda il confine curvo, di solito in che modo le persone lo affrontano quando usano FDM? In altre parole, qual è il trattamento più popolare per questo? O dipende dal tipo di PDE?

Esiste un modo (almeno relativamente) elegante e di alta precisione per affrontare il confine curvo? O è solo un inevitabile dolore?

Vorrei anche chiedere, le persone usano effettivamente FDM per il confine curvo al giorno d'oggi? In caso contrario, qual è il metodo comune per farlo?

Qualsiasi aiuto sarebbe apprezzato.

pde finite-difference boundary-conditions

— xzczd
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Risposte:

Prima di rispondere alla tua ultima domanda, le persone usano effettivamente FDM per il limite curvo al giorno d'oggi direi che la risposta è no. Nel mondo commerciale dei CFD, gli schemi di volume finito accurati del 2 ° ordine sono di fatto lo standard del settore. Uno dei vantaggi di FV (e degli elementi finiti / galerkin discontinuo che si avvicina a Jed) rispetto a FD è la gestione molto più naturale di confini complessi. FD fornisce la base di molti metodi numerici (incluso FV) ed è necessario imparare come primo passo, ma non è consigliabile per problemi complessi su larga scala.

Per quanto riguarda la gestione di confini complessi in FD, posso pensare a due modi canonici, uno dei quali è il metodo di interpolazione / estrapolazione che hai citato. L'altro è usare punti della griglia adattati al corpo nello spazio fisico con una mappatura conforme allo spazio "computazionale" dove $(x,y)$ $\xi = \xi(x,y),\eta = \eta(x,y)$ $\Delta \xi = \Delta \eta = constant$ . Quindi si possono riscrivere termini come

\frac{\partial u}{\partial X} = \frac{\partial u}{\partial ξ} \frac{\partial ξ}{\partial X} + \frac{\partial u}{\partial η} \frac{\partial η}{\partial X}

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial \xi} \frac{\partial \xi}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial \eta} \frac{\partial \eta}{\partial x}$

$\frac{\partial (\xi,\eta)}{\partial (x,y)}$ $u$

Direi che questo approccio alla griglia adattato al corpo è il "trattamento più popolare" per affrontare i confini curvi nell'FD, con l'avvertenza che i metodi FD stessi non sono più molto "popolari" per applicazioni complesse. È raro vederli emergere ancora nella letteratura sui CFD, tranne per domini molto semplici.

— Aurelio
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La tua affermazione "Direi che la risposta è no" non è corretta. Visbal e Gaitonde lavorano ampiamente con FD di ordine superiore nel codice FDL3DI . Inoltre, il codice OVERFLOW della NASA è un codice FD (per quanto ne so / posso dire).

— Brian Zatapatique,

OVERFLOW era originariamente puramente FD, ma ora generalmente utilizza la suddivisione del flusso FV (AUSM, HLLC, ecc., In Ch 1 del tuo link.) È anche sicuramente un codice "legacy". Quel collegamento FDL3DI proviene dal lavoro negli anni '90, quando il lavoro di alto livello basato sugli elementi finiti / DG era agli inizi e non c'erano schemi dimostrabili fattibili con volumi finiti accurati di alto ordine. Penso che saresti difficile convincere qualcuno nel 2013 ad iniziare lo sviluppo di un codice basato sulla strategia compatta delle differenze finite di quel lavoro. Per quanto elegante sia, è molto restrittivo per le applicazioni.

— Aurelio,

Non sono d'accordo con la generalità della tua affermazione che non è consigliabile utilizzare FD per problemi complessi su larga scala. Al giorno d'oggi, le persone in HPC tendono a rifondere i loro schemi di elementi finiti in modo simile a uno stencil e usano griglie (semi) strutturate per implementare in modo efficiente solutori senza matrice per calcoli su scala estrema. Pertanto, per quanto siano fuori moda, le persone vogliono ancora usare differenze finite. Per non parlare del fatto che esistono applicazioni in cui è possibile cavarsela con maglie strutturate. Per le geometrie complesse, tuttavia, lo standard FD è doloroso e forse è quello che volevi dichiarare.

— Christian Waluga,

Per geometrie curve semplici, l'FD di alto ordine vincerà su differenza di volume / differenza spettrale di alto ordine, ricostruzione del flusso o metodi DG su una base di efficienza (precisione / tempo). Per quelli complessi, la generazione della griglia può essere sufficiente per farti provare approcci alternativi. Non bisogna dimenticare che la notevole flessibilità dei metodi sopra menzionati ha un costo considerevole, si veda questo documento di Loehner . Questo è uno dei motivi per cui FDL3DI e OVERFLOW sono ancora in uso.

— Brian Zatapatique,

@ChristianWaluga sì, questo è fondamentalmente quello che stavo cercando di affermare. Ovviamente le idee FD si fanno strada in altre applicazioni (ad esempio, i gradienti in FV sono calcolati da differenze finite) e in alcune aree come il DNS su geometrie semplici le vedi usate. Ma per i codici di uso generale la tendenza degli ultimi 2 decenni è stata abbastanza chiara rispetto alla pura FD.

— Aurelio,

I confini curvi sono coperti nella maggior parte dei libri CFD, ad esempio il capitolo 11 di Wesseling o il capitolo 8 di Ferziger e Peric .

Sebbene non sia un problema teorico fondamentale, la complessità pratica dell'implementazione di condizioni al contorno per metodi di alto ordine su confini curvi è un motivo significativo di interesse per metodi più geometricamente flessibili come il metodo degli elementi finiti (incluso Galerkin discontinuo). La differenza finita strutturata e le griglie del volume finito sono ancora utilizzate in alcune simulazioni CFD, ma i metodi non strutturati stanno guadagnando popolarità e le operazioni locali utilizzate da metodi non strutturati di alto ordine sono in realtà abbastanza efficienti, e quindi potrebbero non subire molte perdite di efficienza rispetto a FD simili metodi. (In effetti, la flessibilità geometrica spesso li rende più efficienti.)

— Jed Brown
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Ottima risposta Jed. C'è una procedura molto dettagliata su come trattare i BC irregolari in un problema di fluidi trovato nella mia tesi p38-46. Francamente è un grande dolore A * # farlo nelle formulazioni FD. L'intuizione importante da prendere è che i BC curvi possono essere approssimati da un gran numero di infiniti rettilinei.

— meawoppl

Ho lavorato ad alta precisione fdm negli ultimi n anni. e ho usato l'equazione dell'elettrostatica -2 dim laplace come esempio per sviluppare esplicitamente algoritmi di alta precisione. fino a circa 4 anni fa i problemi venivano costruiti con linee orizzontali o verticali punti di potenziale discontinuità. se google il mio nome e fdm alta precisione dovresti trovare i riferimenti. ma questa non è la tua domanda la tua domanda è fdm e confini curvi. circa un anno fa ho presentato una soluzione di ordine 8 a hong kong (vedi Un metodo a differenza finita per l'elettrostatica cilindrica simmetrica con confini curvilinei) che ha creato algoritmi di ordine 8 per punti interni vicini al confine e che richiederebbero ovviamente punti sull'altro lato del confine. i punti sull'altro lato del confine erano posti lì semplicemente estendendo la maglia sull'altro lato. fatto questo, la domanda era: come trovare i valori di questi punti quando si rilassa la mesh. è stato realizzato integrandosi dal limite (potenziale noto) al punto usando gli algoritmi. ebbe un discreto successo e ragionevolmente accurato ~ <1e-11, MA richiedeva 103 algoritmi ciascuno realizzato individualmente ed era piuttosto fragile, si potevano trovare geometrie instabili. per porre rimedio a quanto sopra è stata trovata una soluzione (ordine 8 e inferiore) utilizzando (uno!) algoritmo minimo e la soluzione presenta una notevole robustezza. è stato inviato ma sarebbe disponibile come prestampa tramite email. Credo che questa tecnica sarebbe estendibile al pde indipendente dal tempo (lineare richiesto) diverso da laplace e alle dimensioni superiori a 2. Non ho considerato il problema dipendente dal tempo ma la tecnica essendo una serie di potenze dovrebbe essere adattabile e applicabile. david

— david
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Se potessi inviare il tuo documento a un server di prestampa (come arXiv, per esempio), e poi collegarti qui, ciò migliorerebbe la tua risposta. In generale, le risposte non devono contenere indirizzi e-mail. Ti incoraggio anche a rendere la tua risposta più concisa.

— Geoff Oxberry,