Come si possono applicare le wavelet al PDE?

Vorrei imparare come applicare i metodi wavelet al PDE, ma sfortunatamente non conosco una buona risorsa per conoscere questo argomento.

Sembra che molte introduzioni alle wavelet si concentrino sulla teoria dell'interpolazione, ad esempio assemblando un segnale mediante una sovrapposizione di preferibilmente poche wavelet. Le domande di PDE sono talvolta menzionate, senza approfondire l'argomento. Sono interessato a buoni articoli di sintesi per le persone che hanno visto un WFT ma non hanno più conoscenza su questo argomento. Un buon riassunto sarebbe interessante, ovviamente, se pensi che possa essere fatto.

Sono particolarmente interessato a farmi un'idea del tipo di domande che di solito appaiono. Ad esempio, so che gli elementi finiti vengono in genere applicati a un PDE su un dominio limitato con il confine di Lipschitz, che sono le domande tipiche nella scelta dello spazio Ansatz (conforme, non conforme, geometria e combinatoria), come viene stabilita la teoria della convergenza ( in realtà la teoria di Galerkin non dovrebbe essere così diversa per Wavelets), e ho qualche intuizione su quali cose matematiche siano realizzabili nelle implementazioni. Una tale prospettiva a volo d'uccello su Wavelets per PDE sarebbe molto utile per me.

Le wavelet hanno belle proprietà di approssimazione multi-risoluzione, ma non sono particolarmente popolari per la risoluzione di PDE. Le ragioni più comunemente citate sono la difficoltà nell'imporre condizioni al contorno, il trattamento dell'anisotropia non allineata, la valutazione di termini non lineari e l'efficienza.

I Wavelet furono i primi a ottenere risultati di convergenza per metodi completamente adattativi (vedi Cohen, Dahmen e DeVore 2001 e 2002 ). Tuttavia, questa teoria cruciale è stata rapidamente seguita da Binev, Dahmen e DeVore (2004) che hanno dimostrato un risultato simile per i metodi adattivi agli elementi finiti che sono più popolari per i tradizionali problemi di PDE in dimensioni moderate. Le basi wavelet sono popolari per problemi di dimensione superiore come i metodi a tensore rado per PDE stocastici Schwab e Gittelson (2011) e questa discussione .

Gli operatori differenziali hanno limitato il numero della condizione quando espressi in basi wavelet e precondizionati con Jacobi (quindi i metodi di Krylov convergono in un numero costante di iterazioni indipendenti dalla risoluzione). Ciò è legato ai metodi gerarchici multigrid di Yserentant (1984), Bank, Dupont e Yserentant (1988) e altri. Si noti che i metodi multigrid moltiplicativi hanno proprietà di convergenza superiori ai metodi additivi. Un V-ciclo multigrid standard equivale essenzialmente al Gauss-Seidel simmetrico standard nella base wavelet con il solito ordinamento. Si noti che questo è raramente il modo migliore per implementare, soprattutto in parallelo.

$\mathcal H$

Gli operatori differenziali sono relativamente più costosi da valutare nelle basi wavelet e può essere difficile stabilire le proprietà di conservazione desiderate. Alcuni autori (ad esempio Vasilyev, Paolucci e Sen 1995) ricorrono a metodi di collocazione e usano stencil a differenza finita per valutare derivati ​​e termini non lineari. Se l'espansione wavelet è bloccata (generalmente buona per l'efficienza computazionale), questi metodi diventano molto simili all'AMR strutturato a blocchi.

Suggerisco Beylkin e Keizer (1997) come introduzione pratica alla risoluzione di PDE con wavelet. Il codice MADNESS si basa su questi metodi. Ha il supporto per i confini immersi (vedi Reuter, Hill e Harrison 2011 ), ma non ha un modo efficace per rappresentare gli strati limite in geometrie complicate. Il software viene spesso utilizzato per problemi di chimica in cui la geometria non è un problema.

Per un'analisi numerica generale delle wavelet, suggerisco il libro di Cohen del 2003 . Presenta un framework di analisi in cui la soluzione di continuum viene manipolata fino a quando non si desidera valutarla con una data precisione, a quel punto la base wavelet viene valutata come necessaria.