Implementazione del metodo Jacobi-Davidson per il problema degli autovalori cubici

Ho un grosso problema di autovalori cubici:

(A_{0} + λ A_{1} + λ^{2} A_{2} + λ^{3} A_{3}) x = 0.

$\left(\mathbf{A}_0 + \lambda\mathbf{A}_1 + \lambda^2\mathbf{A}_2 + \lambda^3\mathbf{A}_3\right)\mathbf{x} = 0.$

Potrei risolverlo convertendomi in un problema di autovalore lineare ma si tradurrebbe in un sistema di dimensioni: $3^2$

[\begin{matrix} - A_{0} & 0 & 0 \\ 0 & I & 0 \\ 0 & 0 & I \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = λ [\begin{matrix} A_{1} & A_{2} & A_{3} \\ I & 0 & 0 \\ 0 & I & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}],

$\begin{bmatrix} -\mathbf{A}_0 & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} & 0 \\ 0 & 0 & \mathbf{I} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \\ \mathbf{z} \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} \mathbf{A}_1 & \mathbf{A}_2 & \mathbf{A}_3 \\ \mathbf{I} & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \\ \mathbf{z} \end{bmatrix},$

dove $\mathbf{y} = \lambda\mathbf{x}$ e $\mathbf{z} = \lambda\mathbf{y}$ . Quali altre tecniche sono disponibili per risolvere un problema di autovalori cubici? Ho sentito che esiste una versione di Jacobi-Davidson che la risolverà ma non ha trovato un'implementazione.

Inoltre, devo essere in grado di indirizzare specifici autovalori in modo simile al metodo shift-and-invert di ARPACK e trovare gli autovettori associati.

c++ eigensystem eigenvalues

— OSE
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Quali sono le dimensioni delle matrici coinvolte?

— Bill Barth,

A_{i}

$\mathbf{A}_i$ è ordine

10000 \times 10000

$10000\times 10000$ . Ho due diverse formulazioni di questo problema, una in cui

A_{i}

$\mathbf{A}_i$ è denso e nell'altro è scarso.

— OSE,

SLEPc ha routine per problemi di autovalori quadratici e problemi di autovalori non lineari, quindi potresti essere in grado di trovare ciò di cui hai bisogno. Ha anche funzioni di cambio e inversione e ha un'interfaccia con ARPACK.

— Geoff Oxberry,

Con il protocollo di comunicazione inversa di ARPACK, non è necessario memorizzare esplicitamente la matrice : è sufficiente fornire due funzioni che calcolano: $3n \times 3n$

$\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} -A_0 x \\ y \\ z \end{array}\right]$ e $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} A_1 x + A_2 y + A_3 z \\ y \\ z \end{array}\right]$

(paghi ancora il prezzo di memorizzazione dei vettori dimensionali ma non paghi nulla per le matrici). $3\times n$

Per quanto riguarda la trasformazione invertita, puoi fare la stessa cosa, cioè implementarla tu stesso usando un callback che calcola invece di e sostituisca i calcolati con . Per calcolare , puoi pre-fattorizzare la tua matrice , il che significa solo pre-factoring (usando LU, Cholesky o versioni sparse di esse a seconda della struttura della matrice). Per la trasformazione full shift-invert, penso che si possa fare qualcosa di simile. $x \mapsto M^{-1} x$ $x \mapsto M x$ $\lambda's$ $\lambda^{-1}$ $M^{-1}x$ $M$ $A_0$

— BrunoLevy
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