Corrispondenza dei minimi quadrati puramente rotazionali

Qualcuno potrebbe raccomandare un metodo per il seguente problema dei minimi quadrati:

trova che minimizza: , dove R è un unitario (rotazione) matrice.$R \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$$\sum\limits_{i=0}^N (Rx_i - b_i)^2 \rightarrow \min$$R$

Potrei ottenere una soluzione approssimativa minimizzando $\sum\limits_{i=0}^N (Ax_i - b_i)^2 \rightarrow \min$ ( A \ in \ mathbb arbitrario {R} ^ {3 \ times 3}$A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ ), prendendo matrice $A$ e:

• calcolo SVD: $A = U \Sigma V^T$ , rilascio $\Sigma$ e approssimazione $R \approx U V^T$
• calcolo della decomposizione polare: $A = U P$ , scendente simmetrico solo in scala (e positivo definito nel mio caso) $P$ e approssimativo $R \approx U$

Potrei anche usare la decomposizione QR, ma non sarebbe isometrica (dipende dalla scelta del sistema di coordinate).

Qualcuno sa un modo per farlo, almeno approssimativamente, ma con una migliore approssimazione rispetto ai due metodi sopra?

Il problema si chiama problema di Wahba , un algoritmo per questo si chiama algoritmo di Kabsch , e il successivo più popolare si chiama metodo Davenport q . Apparentemente è usato e studiato in aeronautica per determinare un orientamento artigianale. Ci sono molte recensioni sui metodi.

Fai attenzione che l'adattamento migliore potrebbe includere la riflessione.

Il metodo di Kabsch calcola un SVD a matrice di covarianza 3x3 e rilascia il termine (modulo uno riflesso, che di solito viene spiegato negando l'ultima colonna di nell'SVD). È molto semplice generalizzare ad un altro numero di dimensioni.$\Sigma$$U$

Il metodo Davenport q è spesso pubblicizzato come il primo algoritmo pratico, forse qualcuno può commentare il perché. Costruisce anche una matrice di covarianza 3x3, ma poi parametrizza la matrice di rotazione in funzione di un quaternione, e il problema diventa quello di calcolare l'autovettore con massimo autovalore di una matrice simmetrica 4x4.

(Alcune delle) implementazioni numeriche più popolari sono chiamate QUEST e FOMA . Questi metodi di solito sono una variazione sul tema del calcolo del massimo autovalore scrivendo e ottimizzando il polinomio caratteristico (un quartico) e risolvendolo analiticamente (calcoli piuttosto coinvolti, passando per le formule di Kardano) o con l'iterazione di Newton.

Schuster ha inoltre sviluppato e analizzato alcune varianti dell'algoritmo iterativo.