Spiegazione di base della funzione forma

Ho appena iniziato a studiare la FEM in una base più strutturata rispetto a quella che facevo durante i miei corsi di laurea. Lo sto facendo perché, nonostante il fatto che posso usare la "FEM" in software commerciale (e altri software non commerciali), vorrei davvero capire le tecniche sotterranee che supportano il metodo. Ecco perché vengo qui con una domanda di base, almeno per l'utente esperto della tecnica.

Ora sto leggendo un libro piuttosto popolare (credo) e "ingegneristico" chiamato "Metodo degli elementi finiti - Le basi" di Zienkwicz. Ho letto questo libro dalla prima pagina ma non riesco ancora a capire il concetto di funzione della forma nel modo in cui Zienkwicz lo spiega.

Quello che so dalle cose che avevo letto è che una matrice "Rigidità", quella che mette in relazione le incognite con il risultato ( in: A k = b ), ha i suoi componenti dalle "relazioni tra i nodi" e se tale "relazione" cambia, (cioè se la cambiamo in un interpolante di ordine superiore), la matrice di rigidezza cambia, perché cambia la relazione tra i nodi.$A$$Ak=b$

Ma in questo libro, la definizione è abbastanza confusa per me, perché in qualche punto dice che puoi arbitrariamente scegliere la funzione come, ad esempio, la matrice dell'identità:

L'unica spiegazione che ho trovato è in questo blog , ma non è ancora così chiaro per me. Quindi, qualcuno può darmi una semplice spiegazione chiara di cosa sia una funzione Shape e di come si fa per "metterlo" nella matrice di rigidità?

Ho sempre trovato l'approccio alla descrizione di metodi ad elementi finiti che si concentra sul sistema lineare discreto e lavora all'indietro senza motivo di confusione. È molto più chiaro andare dall'altra parte, anche se ciò comporta all'inizio un po 'di notazione matematica (che cercherò di ridurre al minimo).

Supponiamo che stai cercando di risolvere un'equazione per una data f e sconosciuta u , dove A è un operatore lineare che mappa le funzioni (ad esempio, descrivendo lo spostamento in ogni punto ( x , y ) in un dominio) in uno spazio V per funzioni in un altro spazio (ad esempio, descrivendo le forze applicate). Poiché lo spazio funzionale V è generalmente di dimensione infinita, questo sistema non può essere risolto numericamente. L'approccio standard è quindi quello di sostituire V con un sottospazio di dimensioni finite V he cercare$A u = f$$f$$u$$A$$(x,y)$$V$$V$$V$$V_h$ soddisfacente A u h = f . Questo è ancora infinito-dimensionale a causa dello spazio di intervallo (che supponiamo che anche la semplicità sia V ), quindi chiediamo solo che il residuo A u h - f ∈ V sia ortogonale a V h - o equivalentemente , che v T h ( A u h - f ) = 0 per ogni vettore base v h in V h . Se ora scriviamo la$u_h \in V_h$$Au_h = f$$V$$Au_h-f\in V$$V_h$$v_h^T(Au_h-f) = 0$$v_h$$V_h$ come combinazione lineare di questi vettori di base, ci ritroviamo con un sistema lineare per i coefficienti sconosciuti in questa combinazione. (I termini v T i A u j sono esattamente le voci della matrice di rigidezza K i j e v T j f sono le voci del vettore di carico. Se A è un operatore differenziale, di solito si esegue l'integrazione per parti in qualche punto , ma questo non è importante qui.)$u_h$$v_i^TAu_j$$K_{ij}$$v_j^Tf$$A$

$V_h$$V_h$$V_h$$x$$y$$V_h$$\{\psi_j\}$$(0,0)$$(0,1)$$(1,0)$$\psi_j$$1$$0$

$V_h$

Nell'approccio ingegneristico alla FEM in Meccanica Strutturale, come viene presentato, si perde la sensazione di risolvere equazioni differenziali parziali .

Ti mostrano queste matrici, attribuiscono un significato fisico, e secondo me questo ti porta a sviluppare una dubbia intuizione fisica per il campo.

Può essere utile pensare all'argomento in termini di geometria.La soluzione a un problema del valore limite per PDE è una forma. VI Arnol aveva detto una volta lodando i risultati di Newton sul campo, per parafrasare: ha fatto una cosa meravigliosa creando il campo delle equazioni differenziali permettendoci di riformulare i problemi delle scienze naturali a problemi geometrici delle curve nel piano e delle superfici nello spazio.

In FEM approssimi la soluzione (in FD e FVM approssimi l'equazione di governo).

Inserisci Boris Gligorievich Galerkin. Cosa ha detto BG Galerkin?

Ha detto: “ Voglio che tu non sia in grado di rendere residuo con le stesse funzioni di base, hai usato per creare la soluzione. ”

(PS Questa storia non è completamente vera, e esorto i miei lettori a trovare una spiegazione migliore del metodo (Bubnov-) Galerkin, se esiste.)

Le funzioni di base o di prova sono quelle utilizzate per creare la soluzione. Li usi per approssimare la forma della soluzione.

$Ku=f$

$Ku=f$

La cosa più importante da sapere sulle "funzioni di forma" è che descrivono come le variabili dipendenti che si desidera calcolare (ad es. Spostamento) variano in funzione delle coordinate spaziali dell'elemento (ad es. Xey) in termini di alcuni parametri scalari sconosciuti.

Spesso le funzioni di forma sono semplici polinomi e i parametri scalari sono i valori delle variabili dipendenti sui nodi dell'elemento.

Formare le equazioni agli elementi finiti usando queste funzioni di forma richiede alcuni altri concetti fondamentali come stabilire una "forma debole" dell'equazione differenziale parziale che si sta tentando di risolvere.

C'è un sacco di "misticismo" non necessario associato al metodo degli elementi finiti, quindi incoraggio il vostro approccio nel cercare di ottenere una comprensione approfondita dei fondamenti.

La mia opinione è nella lezione 4 su http://www.math.tamu.edu/~bangerth/videos.html . In particolare, ti dà un'idea del perché scegliamo le funzioni del cappello che usiamo di solito quando usiamo il metodo degli elementi finiti - vale a dire, perché portano all'importante concetto di scarsità, anche se molte altre scelte di funzioni di base sarebbero state ugualmente valido.

Ad ogni elemento è associato un modello di spostamento che esprime la variazione della variabile di campo (variabile dipendente) in termini di coefficienti generalizzati e variabili indipendenti (x, y, z) ad es .: 1D u (x) = a0 + a1x per 2 lineari con nodo element u (x) = a0 + a1x + a3x ^ 2 per 3 elementi quadratici con nodo e così via. Qui ai s sono i coefficienti generalizzati Quindi eliminiamo ai s ed esprimiamo la variazione della variabile di campo in termini di funzioni di forma e valori nodali della variabile di campo. es: u (x) = N1 u1 + N2 u2 La funzione che mette in relazione la variazione della variabile di campo con il valore nodale della variabile di campo è chiamata “FUNZIONE FORMA”. Il numero di funzioni di forma dipenderà dal numero di nodi e dal numero di variabili per nodo. Le funzioni di forma possono quindi essere visualizzate come funzioni, che denota il contributo di ciascun valore nodale nei punti interni dell'elemento. Per un elemento con due nodi Al nodo 1 il contributo di N1 è unità e quello di N2 è zero.

Al nodo 2 il contributo di N2 è unità e quello di N1 è zero.

Nel punto medio dell'elemento entrambi i nodi hanno uguale peso o influenza. Quindi le funzioni di forma indicano non solo come varia la variabile di campo sull'elemento, ma anche quanta influenza ha ciascun valore nodale della variabile di campo sui punti interni dell'elemento. Buon apprendimento :)

Ho anche spiegato le funzioni di forma in maggiori dettagli qui: http://stochasticandlagrangian.blogspot.lt/2012/02/rayleigh-ritz-method-explained-for.html

Spiega passo per passo in modo visivo come funziona il metodo Rayleigh-Ritz. Scrivere questo articolo alla fine mi ha aiutato a capire le funzioni della forma.

secondo la mia comprensione .. le funzioni di forma non sono altro che la relazione tra variabili di campo e punti nodali.

Supponiamo che la nostra terra sia sotto pressione con carichi esterni e che la nostra terra stia per crollare. con il metodo analitico, usiamo molte formule e scopriamo che in alcune parti (come supponiamo l'Asia Continente) la terra sta andando in pezzi. Usando il metodo FEM, dividiamo la terra in diversi paesi, stati e città, colleghiamo ogni città e infine ci uniamo a tutte le città per formare un globo chiamato terra. funzioni di forma è la chiave che fornisce un ponte tra le città a maglie per formare uno stato e un paese e infine il globo. è il collegamento che collega la mesh. Una volta fatto questo, viene applicato il carico e si può trovare il posto esatto in cui inizia la crepa e che può essere rafforzato.

spero che questo ti abbia aiutato.

Per quello che ho capito delle funzioni di forma è che si tratta di collegare le coordinate geometriche nodali con lo spostamento dell'elemento con una stessa funzione di forma.

Prendi in considerazione un caso 1D. Una barra con 2 nodi alla fine.

Quando collego questo elemento con le sue coordinate nodali, posso trovare lo spostamento in qualsiasi punto di questo elemento con l'aiuto della funzione di interpolazione.

Quindi, sostanzialmente le funzioni di forma sono le approssimazioni che facciamo per trovare deformazioni in qualsiasi punto dello spazio in modo encomiabile.

Le funzioni di forma sono le funzioni che mettono in relazione lo spostamento in qualsiasi punto dell'elemento con lo spostamento dei nodi dell'elemento. Un grafico della funzione forma rispetto ai punti sull'elemento mostra la "forma" deformata dell'elemento e quindi la funzione forma nome.