Metodo degli elementi finiti vs Metodo degli elementi finiti esteso (FEM vs XFEM)

Quali sono le principali differenze tra FEM e XFEM? Quando dovremmo (non) usare XFEM al posto di FEM e viceversa? In altre parole, quando incontro un nuovo problema, come posso sapere quale di questi?

Il metodo degli elementi finiti (FEM) è il metodo genitore che ha ispirato molti, molti altri metodi e metodi che sono in realtà FEM ma fingono di non esserlo.

Nel metodo degli elementi finiti, le "funzioni di forma" vengono utilizzate per fornire uno spazio di approssimazione in modo che la soluzione possa essere rappresentata da un vettore. Nella FEM classica, queste funzioni di forma sono polinomi.

Nel metodo degli elementi finiti estesi (XFEM), vengono utilizzate ulteriori funzioni di "arricchimento" per approssimare la soluzione oltre alle funzioni di forma polinomiale. Queste funzioni di arricchimento sono scelte per avere proprietà che la soluzione è nota per seguire.

Le funzioni di arricchimento XFEM più ovvie sono le funzioni di potenza introdotte in spigoli vivi per rappresentare le singolarità nel gradiente della soluzione (ovvero la singolarità nello stress per solidi problemi di meccanica). XFEM può essere utilizzato per altre funzioni di arricchimento e altri domini di soluzioni (in particolare il trasferimento di calore), ma il nome è sinonimo di analisi delle fratture.

La distinzione tra vari metodi - è questo XFEM o no ?, ecc. - è difficile, sottile e insignificante.

Per quanto riguarda quale usare, XFEM vede pochissimo uso pratico. Esistono una manciata di applicazioni in codici a elementi finiti reali, in particolare Abaqus, ma non hanno visto un'accettazione diffusa.

Per quasi tutti i problemi pratici, verrebbe utilizzato il classico FEM. Per la maggior parte dei problemi di analisi delle fratture, la FEM classica potrebbe ancora essere utilizzata con un adeguato affinamento della mesh e / o perfezionamento della p nell'area della punta della fessura. Possono anche essere usati altri modelli di frattura, meno rigorosi.

Entrambi di Mike risposta e Jed di uno descrivono bene la dicotomia XFEM / FEM e corretto sottolineare che la più importante area di applicazione è in 3D meccanica della frattura, in cui si ha una crepa, vale a dire uno spostamento di discontinuità su una superficie all'interno del vostro dominio.

Le crepe sono difficili da modellare nella FEM classica per due motivi:

1. La mesh deve essere congruente attraverso la fessura: più precisamente la fessura deve essere al limite di un sottodominio di FE. La crepa non può trovarsi all'interno (passaggio però) di un elemento finito.

2. Il singolare campo di sollecitazione sulla punta della fessura richiede che gli elementi speciali e / o le tecniche di mesh (elementi da un quarto di punto, mesh focalizzata) siano modellati con buona precisione.

Da un punto di vista ingegneristico nella meccanica delle fratture hai due tipi principali di problemi:

1. Calcolo del fattore di intensità dello stress ,

2. analisi della propagazione delle crepe, ad es. nell'analisi della fatica o della tolleranza al danno.

Per il primo tipo di problema, la FEM classica è più che adeguata ed è lo strumento di ingegneria standard. (Questo perché, fortunatamente, esistono metodi energetici per valutare i fattori di intensità dello stress che non sono sensibili agli errori numerici vicino alla punta della crepa.)

L'analisi della propagazione del crack è una storia completamente diversa: nella maggior parte dei casi non si conosce in anticipo il percorso del crack, quindi è necessario un remeshing frequente. La principale promessa di XFEM è di consentire la propagazione delle crepe all'interno di una mesh FEM fissa , che si fa strada non solo al confine tra i sottodomini, ma all'interno degli stessi FE.

XFEM è una tecnica relativamente nuova, ancora lontana dall'essere uno strumento di ingegneria standard. La mia risposta alla domanda OP, almeno nella meccanica solida e nell'analisi ingegneristica, è che XFEM ha un campo di applicazione molto ristretto e specializzato nell'analisi della propagazione di crepe e danni, per geometrie 3D complesse, quando il percorso della crepa non può essere stimato a priori .

Tuttavia, lasciatemi sottolineare che la meccanica della frattura è un campo molto importante in ingegneria: ad esempio gli aiplani di oggi sono sicuri anche perché è possibile prevedere numericamente i danni e la propagazione delle crepe tra gli intervalli di manutenzione. XFEM, o nuove tecniche simili, diventeranno strumenti importanti nel prossimo futuro.

FEM è un sottoinsieme di XFEM. XFEM è una metodologia per arricchire gli spazi agli elementi finiti per gestire i problemi con discontinuità (come la frattura). Con la FEM classica, il raggiungimento di un'accuratezza simile richiede in genere complicate mesh conformali e perfezionamento adattativo, dove XFEM lo fa con una singola mesh, spostando tale complessità geometrica negli elementi (XFEM è molto complicato da implementare, specialmente in 3D). Nel frattempo, XFEM si traduce in matrici estremamente mal condizionate che richiedono solutori diretti o metodi multigrid molto specializzati (ad esempio, Gerstenberger e Tuminaro (2012) ).