Come posso calcolare una base per una matrice di algebra di Lie data una serie finita di generatori?

Dato un insieme arbitrario di matrici complesse (numeriche) quadrate , sono interessato a calcolare la vera algebra di Lie della matrice generata da , chiamala . Cioè, vorrei una base per dove è definito in modo ricorsivo come e per . $\mathcal{A}=\{A_1,A_2,\cdots,A_m\}$ $\mathcal{A}$ $\mathcal{L_\mathcal{A}}$

L_{A} = s p a n_{R} {B : B \in \cup_{k = 1}^{\infty} C_{k}}

$\mathcal{L_\mathcal{A}} = \mathbb{span_R}\{B:B\in\cup_{k=1}^{\infty}\mathcal{C}_k\}$

C_{k}

$\mathcal{C}_k$

C_{1} = A

$\mathcal{C_1}=\mathcal{A}$

C_{k + 1} = {[X, Y] : X, Y \in \cup_{j = 1}^{k} C_{j}}

$\mathcal{C_{k+1}}=\{[X,Y]:X,Y\in\cup_{j=1}^k\mathcal{C_j}\}$

k \geq 1

$k\geq 1$

Questo calcolo emerge dalla teoria del controllo (quantistico).

Attualmente sto usando un metodo trovato qui che cerca solo tra parentesi ripetute di Lie (ovvero quelle del formato ) ed è garantito per terminare. Tuttavia sono interessato a sapere se ci sono altri metodi (più veloci). Forse usando le basi P. Hall? Forse un algoritmo ricorsivo? La mia lingua predefinita al momento è Matlab. $[A_{j_1},[A_{j_2},[A_{j_3},\cdots[A_{j_{n-1}},A_{j_n}]\cdots]]]$

linear-algebra matlab basis-set

— Ian Hincks
fonte

Immagino che i tuoi generatori originali siano eremiti. È vero? In tal caso, immaginerei che il primo passo sarebbe quello di confrontare gli spazi interni dei generatori, poiché i commutatori sono diversi da zero solo quando gli spazi esterni sono diversi.

— Jack Poulson,

@JackPoulson Sì, le A provengono da hamiltoniani, e così sono obke-eremiti (non eremiti perché sono moltiplicati per l'i nell'equazione di Schroedinger). Non sono sicuro di capire perché questo sarebbe un buon primo passo. Il calcolo dei commutatori e il controllo per vedere se sono diversi da zero non sarebbero più veloci che armeggiare con gli spazi elettronici?

— Ian Hincks,

Per un singolo livello di commutatori, probabilmente sì. Ma c'è un'esplosione combinatoria quando inizi a considerare diversi livelli di commutatori. Non conosco un algoritmo, ma di solito è una buona idea sfruttare la maggior struttura possibile. Penserei attentamente se conoscessi altre proprietà che riguardano anche i tuoi generatori.

— Jack Poulson,

Questo link descrive come eseguire ciò utilizzando le basi P. Hall.

$A - p(A)$ $A$ $p$

— Erik P.
fonte

@EricP Grazie per il link, molto utile. Avevo visto solo le basi di P. Hall nel contesto delle algebre di Lie libere, di cui non ho una solida comprensione, e sono felice di sapere che la mia intuizione di sbarazzarmi delle commutazioni linearmente dipendenti era corretta. L'accuratezza numerica è qualcosa di cui sono molto preoccupato. Vuoi dire che dovrei confrontare piuttosto la norma di p (A) con la norma di A? E che questo sarebbe più stabile rispetto al confronto della norma di Ap (A) a 0?

— Ian Hincks,

‖ A - p (A) ‖

$\Vert A - p(A) \Vert$

‖ A ‖

$\Vert A \Vert$

R^{n^{2}}

$\mathbb{R}^{n^2}$

n^{2} \times k

$n^2 \times k$