Un determinante minuscolo implica mal condizionamento di una matrice?

$\det(A) \approx 0$

È vero anche il contrario? Una matrice mal condizionata ha un determinante quasi zero?

Ecco qualcosa che ho provato in Octave:

a = rand(4,4);
det(a) %0.008
cond(a)%125
a(:,4) = 1*a(:,1) + 2*a(:,2) = 0.000000001*ones(4,1);
det(a)%1.8E-11
cond(a)%3.46E10

linear-algebra condition-number

— Inchiesta
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Il determinante mostra se una matrice è regolare o singolare. Non mostra se è ben condizionato o mal condizionato.

— Allan P. Engsig-Karup,

L'entità del determinante non può riflettere il mal condizionamento: ma .

κ (A) = κ (A^{- 1})

$\kappa(A)=\kappa(A^{-1})$

det (A^{- 1}) = (det A)^{- 1}

$\det (A^{-1})=(\det A)^{-1}$

— Faleichik,

Dovrebbe esserci un o da qualche parte?

\approx

$\approx$

\neq

$\ne$

— Inchiesta il

Se sei interessato a saperne di più sugli effetti della matematica in virgola mobile sugli spettri a matrice, dai un'occhiata al libro di Nick Trefethen: Spectra e Pseudospectra: il comportamento delle matrici e degli operatori non anormali e il Pseudospectra Gateway .

— Aron Ahmadia,

Risposte:

$\kappa(\mathbf A)$

$10^{-50} \mathbf I$

D' altro canto , considera la seguente famiglia di matrici triangolari superiori quadrate, dovuta ad Alexander Ostrowski (e anche studiato da Jim Wilkinson):

U = (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & 2 \\ 1 & ⋱ & ⋮ \\ ⋱ & 2 \\ 1 \end{matrix})

$\mathbf U=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&2\\&1&\ddots&\vdots\\&&\ddots&2\\&&&1\end{pmatrix}$

$n\times n$ $\mathbf U$ $1$ $\kappa_2(\mathbf U)=\dfrac{\sigma_1}{\sigma_n}$ $\cot^2\dfrac{\pi}{4n}$ $n$

— JM
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@Nunoxic: sicuramente no; prima di lanciarmi nei dettagli, hai già familiarità con la scomposizione del valore singolare?

— JM,

Σ

$\mathbf \Sigma$

Σ

$\mathbf \Sigma$

κ

$\kappa$

\approx \log_{b} κ

$\approx \log_b \kappa$

b

$b$

κ

$\kappa$

10^{1} 3

$10^13$

Sì, ma questo non è il metodo raccomandato per determinare il numero della condizione (una spiegazione per un'altra domanda). Presumo tu sappia come invertire una matrice diagonale, no?

— JM,

"Regd. La perdita di cifre, potresti darmi un riferimento per questo?" - Potrei, ma questa è davvero una di quelle cose che dovresti sperimentare da solo in un ambiente informatico per il rinforzo.

— JM,

$\det(kA)=k^n\det A$

Pertanto, non utilizzare mai il determinante per valutare la condizione o la vicinanza alla singolarità.

D'altra parte, per quasi tutti i problemi numerici ben posati, la condizione è strettamente correlata alla distanza dalla singolarità, nel senso della più piccola perturbazione relativa necessaria per rendere il problema mal posto. In particolare, questo vale per i sistemi lineari.

— Arnold Neumaier
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