Come imporre condizioni al contorno con metodi a differenza finita

Ho un problema quando voglio usare l'approssimazione della differenza del centro di ordine elevato:

(\frac{- u_{i + 2, j} + 16 u_{i + 1, j} - 30 u_{i, j} + 16 u_{i - 1, j} - u_{i - 2, j}}{12})

$\left(\frac{-u_{i+2,j}+16u_{i+1,j}-30u_{i,j}+16u_{i-1,j}-u_{i-2,j}}{12}\right)$

per l'equazione di Poisson

in un dominio quadrato in cui le condizioni al contorno sono:

(u_{x x} + u_{y y} = 0)

$(u_{xx}+u_{yy}=0)$

u (0, y) = u (x, 0) = u (x, 1) = 0, u (1, y) = \sin π y

$u(0,y)=u(x,0)=u(x,1)=0,u(1,y)=\sin \pi y$

Δ x = Δ y = 0.1

$\Delta{x}=\Delta{y}=0.1$

Quando voglio ottenere il valore dei punti interni del dominio, considerando questa approssimazione alcuni punti dipendono dai punti esterni del confine. Ad esempio, deve avere il valore di un punto al di fuori del limite. Qualcuno può aiutarmi per favore in questo caso? $u_{1,1}$ $u_{i-2,j}=u_{-1,0}$

pde finite-difference

— Liona
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Presumo che tu stia utilizzando le condizioni al contorno del dirichlet, giusto?

— Paul

Si prega di indicare le condizioni al contorno che si desidera imporre.

— David Ketcheson,

Forse la chiave sta nell'uso delle condizioni al contorno per ottenere vincoli che coinvolgono quei valori. Non posso espandermi perché non ho mai provato a risolvere numericamente un PDE, ma questa idea funziona per gli ODE. Qualcuno può confermarlo?

— astrojuanlu,

Con metodi di ordine elevato può essere difficile garantire la stabilità del metodo riempiendo le cellule fantasma in questo modo. Detto questo, i problemi ellittici sono in genere più tolleranti per la mia esperienza, quindi potresti essere in grado di cavartela.

— Jeremy Kozdon,

liona, puoi modificare la tua domanda e aggiungere le condizioni al contorno lì, il che è molto meglio che inserirle nei commenti.

— David Ketcheson,

Risposte:

Si consiglia di esaminare i metodi di differenza finita somma per parti (SBP). Ken Mattsson ha lavorato molto su questi metodi. Un buon punto di partenza è qui (coefficienti costanti) e qui (coefficienti variabili).

Fondamentalmente il modo in cui funzionano questi metodi è che sono i metodi centrali standard all'interno e la transizione verso un lato vicino al confine. Una parte importante della tecnologia SBP è che la transizione da un lato è tale che la stabilità del metodo per i problemi dipendenti dal tempo può essere dimostrata anche dopo l'inclusione delle condizioni al contorno. (Ciò è possibile perché gli stessi operatori "definiscono" una norma, che imita discretamente l'integrazione per parti.)

Dici che stai osservando l'equazione di Poisson, non sono del tutto sicuro di come le condizioni al contorno siano stabilmente incluse con gli operatori SBP e le equazioni ellittiche. Ho un collega che ha giocato con questi per problemi ellittici e sembra indicare che non importa cosa fai.

— Jeremy Kozdon
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Esistono altri stampini che è possibile utilizzare per ottenere una precisione dell'ordine elevata vicino ai punti di confine. Lo stencil corrente è nel formato:

$Au_{i+2,j} + Bu_{i+1,j} + Cu_{i,j}+Du_{i-1,j}+Eu_{i-2,j}$

Ma puoi anche usare uno stencil diverso vicino al confine in questo modo:

$Au_{i+3,j} + Bu_{i+2,j}+Cu_{i+1,j}+Du_{i,j} +Eu_{i-1,j}$

$u_{1,1}$

Allo stesso modo, puoi approssimare il valore al limite opposto con una formula simile.

— Paolo
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u_{1, 1}

$u_{1,1}$

Come posso ottenere i coefficienti?

— liona,

Per capire come derivare le formule delle differenze finite, un buon riferimento è il capitolo 1 del libro di Leveque: faculty.washington.edu/rjl/fdmbook . Equivale a serie di Taylor e un po 'di algebra.

— David Ketcheson,

O (h^{2})

$O(h^2)$

O (h^{2})

$O(h^2)$

A U (x + h)

$AU(x+h)$

B U (x)

$BU(x)$

C U (x - h)

$CU(x-h)$

D U (x - 2 h)

$DU(x-2h)$

E U (x - 3 h)

$EU(x-3h)$

U_{x x}

$U_{xx}$

-4

per favore, vedi il mio documento FMD che puoi trovare in Researchgate sotto il mio nome David Edwards jr. se hai domande sarei felice di aiutarti.

david

— david
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Semplicemente dare istruzioni alle persone di cercare altrove non è una risposta utile. Come minimo, è necessario fornire un riepilogo della risposta qui e fornire un collegamento a maggiori dettagli. Inoltre, molti di noi non sono d'accordo con il modo in cui viene eseguito ResearchGate e quindi evitano tutte le interazioni con quel sito, rendendo impossibile vedere il tuo documento con il metodo suggerito.

— Doug Lipinski,

Si prega di rivedere la risposta per includere un riepilogo di qualsiasi background si pensi sia necessario per rispondere alla domanda. Le risposte sono pensate per essere relativamente autosufficienti; rimandare un lettore alla ricerca del proprio documento non è autonomo ed è molto meno utile che fornire un riassunto del suo contenuto.

— Geoff Oxberry,