In che modo la programmazione geometrica differisce dalla programmazione convessa?

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In che modo la programmazione geometrica (generalizzata) è diversa dalla programmazione convessa generale?

Un programma geometrico può essere trasformato in un programma convesso ed è in genere risolto con un metodo a punti interni. Ma qual è il vantaggio di formulare direttamente il problema come programma convesso e risolverlo con un metodo a punti interni?

La classe di programmi geometrici costituisce solo un sottoinsieme della classe di programmi convessi che può essere risolta in modo particolarmente efficiente con metodi a punti interni? O è semplicemente il vantaggio che un programma geometrico generale può essere facilmente specificato in forma leggibile dal computer.

D'altra parte, ci sono programmi convessi che non possono essere approssimati ragionevolmente bene dai programmi geometrici?

optimization convex-optimization

— Thomas Klimpel
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In realtà non avevo mai sentito parlare di programmazione geometrica fino a questa domanda. Ecco un articolo di revisione di Stephen Boyd, et al (anche Vandenberghe è coautore) che è un tutorial sulla programmazione geometrica.

$x^{1/2}$

Il vantaggio di trasformare un programma geometrico in un programma convesso è che il programma geometrico originale non è necessariamente convesso. Se hai risolto il programma geometrico come un programma non lineare (PNL), dovrai utilizzare metodi di ottimizzazione non convessa per garantire una soluzione globale ottimale. Questi metodi sono più costosi dei metodi di ottimizzazione convessi, richiedono una maggiore messa a punto algoritmica e richiedono congetture iniziali.

$\mathbb{R}^{n}$ $x > 0$

Non è chiaro se l'insieme di programmi geometrici si associ (attraverso la trasformazione log-esponenziale) a un insieme di programmi convessi che risolve in modo particolarmente efficiente. Non vedo alcun vantaggio per la programmazione geometrica oltre alla trasformazione in programmi convessi.

Per quanto riguarda la tua ultima domanda, non penso che l'insieme di programmi geometrici sia isomorfo all'insieme di programmi convessi, quindi sospetto che ci siano programmi convessi che non possono essere espressi come programmi geometrici, e di questi programmi, sospetto che ci sono alcuni che non possono essere approssimati ragionevolmente bene dai programmi geometrici. Tuttavia, non ho una prova o un controesempio.

— Geoff Oxberry
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Sembra che il capitolo 8 del documento di revisione collegato cerchi di rispondere alla mia domanda. Tuttavia, dopo una prima occhiata superficiale, ho l'impressione che in realtà qualsiasi programma convesso possa essere approssimato da un programma geometrico (logaritmicamente trasformato, ovviamente ...). Tuttavia, poiché qualsiasi programma lineare è "ovviamente" anche un programma geometrico, questa potrebbe anche essere una variante dell'affermazione secondo cui qualsiasi programma convesso può essere approssimato da un programma lineare, ma non sarebbe quello che intendo con "approssimato ragionevolmente bene".

— Thomas Klimpel,

Quando nacque il termine programmazione geometrica, non era facile risolvere i programmi convessi generali e la struttura speciale poteva essere sfruttata. Ora, ovviamente, una volta che si riconosce che un programma è geometrico, lo si trasforma in un programma convesso e si risolve quest'ultimo con metodi a punti interni.

— Arnold Neumaier,

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$f(x) \leq 1$ $f(x)$ $-x-y \leq 1$ $-x-y$ $-x^2-y^2\leq 1$

— Optare
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La programmazione geometrica non è un sottoinsieme rigoroso della programmazione convessa; tuttavia, sotto la trasformazione log-esponenziale, i programmi geometrici trasformati sono programmi convessi.

— Geoff Oxberry,

Sì, è quello che intendevo dire. Risposta modificata per chiarezza.

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