Calcolo del polinomio caratteristico della matrice sparsa reale

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Data una matrice sparsa generica con ~~m << n~~ (correzione: ) elementi diversi da zero (in genere ). è generico nel senso che non ha proprietà specifiche (ad es. La positività positiva) e non si assume alcuna struttura (ad es. La banda). $A \in \mathbb{R}^{n\times n}$ $m \ll n^2$ $m \in {\cal O}(n)$ $A$

Quali sono alcuni dei buoni metodi numerici per calcolare il polinomio caratteristico o il polinomio minimo di ? $A$

linear-algebra algorithms sparse-matrix

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Sembra che tu voglia calcolare tutti gli autovalori. Perché vuoi il polinomio e come lo vuoi esprimere? La base monomiale è estremamente mal condizionata, quindi i coefficienti probabilmente non possono essere calcolati stabilmente in aritmetica di precisione finita.

— Jed Brown,

@JedBrown più di una contemplazione. Nella mia risposta a questa domanda ho dato un metodo algebrico per invertire una matrice, che è ben nota nell'algebra del computer (ad esempio matrici su anelli e campi commutativi). Voglio sapere se potrei usarlo per matrici numeriche. Si noti che, per questa domanda, sono interessato a metodi numerici per trovare il polinomio caratteristico / minimo piuttosto che inverso.

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Se la complessità non è un tappo, allora potresti voler esaminare il metodo Danilevskii. È abbastanza noto nella letteratura russa sull'algebra lineare numerica, ma non ci sono molte informazioni in inglese. Puoi iniziare da questo link . $O(n^3)$

L'idea è piuttosto semplice: la matrice viene gradualmente ridotta alla forma normale di Frobenius da trasformazioni di somiglianza simili all'eliminazione gaussiana. Se non trovi le informazioni, posso rendere l'algoritmo più elaborato.

— faleichik
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È possibile utilizzare un metodo numerico come QR Factorization o Power Method e i suoi realtives (potenza inversa ecc.) Per calcolare gli autovalori della matrice generica. Successivamente, puoi calcolare il tuo polinomio caratteristico per fattorizzazione come: (λ-λ1) (λ-λ2) ... (λ-λn) = 0 dove λi sono gli autovalori calcolati. Ecco una breve presentazione sui metodi di alimentazione e QR:

QR-Power

— ChemEng
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$m \ll O(n^2)$ $m \ll O(n)$ $n$ $O(m)$

— Wolfgang Bangerth
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m ≪ n^{2},

$m \ll n^2,$

m \in O (n)

$m \in {\cal O}(n)$