Valutazione di integrali oscillatori con molti periodi indipendenti e senza forme chiuse

La maggior parte dei metodi per gli integrali oscillatori che conosco riguardano gli integrali della forma dove è grande.

\int f (X) e^{io ω X} d X

$\int f(x)e^{i\omega x}\,dx$

ω

$\omega$

Se ho un integrale della forma dove sono funzioni oscillatorie le cui radici sono conosciute solo approssimativamente, ma una sorta di forma asintotica è noto, con le frequenze tutte diverse (e -lineamente indipendenti), quindi come posso valutare questo integrale?

\int f (X) g_{1} (X) \dots g_{n} (X) d X,

$\int f(x)g_1(x)\cdots g_n(x)\,dx,$

g_{k}

$g_k$

g_{K} (X) ~ e^{io ω_{K} X}

$g_k(x) \sim e^{i\omega_k x}$

ω_{k}

$\omega_k$

Q

$\mathbb{Q}$

A differenza del caso di , gli integrali polinomiali non sono noti, quindi non posso costruire un insieme di interpolanti polinomiali per e integrare gli interpolanti esattamente. $e^{i\omega x}$ $\int x^a \prod g_k(x)$ $f(x)$

Nel mio esatto problema, le sono le funzioni di Bessel e e la regione di integrazione è . Il metodo che sto usando ora è quello di riassumere i contributi integrali negli intervalli tra le radici fino a un certo limite , quindi utilizzare l'espansione asintotica per per grandi dimensioni . La complessità temporale di questo algoritmo è esponenziale in perché comporta l'espansione del prodotto , ognuno dei quali ha un numero di termini asintotici, che dà $g_k$ $J_0(\omega_k x)$ $f(x)=x^\alpha$ $[0,\infty)$ $[x_{k-1},x_k]$ $M$ $g_k(x)$ $x$ $n$ $g_1\ldots g_n$ $r$ $r^n$ termini totali; termini di potatura troppo piccoli non riducono il tempo di esecuzione abbastanza da renderlo fattibile per grandi . $n$

Le risposte euristiche non rigorose, i suggerimenti e i riferimenti sono tutti benvenuti.

quadrature

— Kirill
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Risposte:

Ho lavorato su integrali più semplici in cui vi sono punti di fase stazionaria. Ho trovato due metodi che funzionano abbastanza bene.

Uno è introdurre un fattore di smorzamento esponenziale che dipende dalla funzione di fase, una specie di viscosità artificiale, se lo si desidera.

Un'altra tecnica (in cui vi sono più punti della fase stat) è stata descritta in:

Tuck, EO, Collins, JL e Wells, WH, "Sulle onde delle navi e i loro spettri", Journal of Ship Research, pagg. 11-21, 1971.

Tale metodo applica i fattori di decadimento esponenziale all'integrando dove diventa rapidamente oscillante lontano dallo stat. punti di fase, ma lascia integro e integro dove non lo è.

Sono io fuori di idee!

— Lysistrata
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Grazie, ma non vedo come funzionerebbe in questo caso. Per prima cosa, non ci sono punti di fase stazionaria sulla linea reale e i contributi delle oscillazioni sono significativi per il valore finale, quindi non devono essere smorzati.

— Kirill,

Finché hai valori precisi per le radici (o estremi) della parte oscillatoria del tuo integrando, il metodo di Longman (come ho descritto in questa risposta ) rimane applicabile. Tutto quello che devi fare è valutare un gruppo di integrali con intervalli tra le radici usando il tuo metodo di quadratura preferito e trattare questi integrali come i termini di alcune serie alternate. È quindi possibile utilizzare un numero qualsiasi di metodi di accelerazione della convergenza (Euler, Levin, Weniger, ecc.) Per "sommare" questa serie alternata.

Ad esempio, in questa risposta math.SE , ho valutato un integrale infinito la cui parte oscillatoria è un prodotto di due funzioni di Bessel.

— JM
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Non importa se le radici sono distanziate in modo irregolare (tutti i periodi sono irrazionali e indipendenti)? Perché dovresti fidarti dell'accelerazione della convergenza per una sequenza così irregolare?

— Kirill,

Questo è stato un po 'di tempo fa, volevo valutare l'integrale a mille cifre e se ricordo bene la quadratura oscillatoria era in realtà la prima cosa che ho provato. Non ricordo i risultati, ma non credo funzionasse bene al momento.

— Kirill,

"Perché dovresti fidarti dell'accelerazione della convergenza per una sequenza così irregolare?" - Non mi fiderei di un solo acceleratore, comunque. Ma, se almeno tre diversi acceleratori mi danno risultati coerenti, penso che le cifre che ho ottenuto siano almeno plausibili. FWIW, ho usato Longman per infiniti integrali di prodotti delle funzioni di Bessel e non sono mai stato deluso, specialmente quando ho usato la trasformazione di Weniger come acceleratore.

— JM,

x^{a} e^{b x}

$x^a e^{b x}$

Se riesci a fare un'espansione (generalizzata) di Fourier, allora certo.

— JM,