problema SVD ponderato?

Dati due matrici e , mi piacerebbe trovare vettori ed , in modo tale che, In forma di matrice, sto cercando di ridurre al minimo la norma di Frobenius di . $A$ $B$ $x$ $y$

min \underset{io j}{Σ} ({UN}_{io j} - X_{io} y_{j} B_{io j})^{2} .

$\min \sum_{ij} (A_{ij} - x_i y_j B_{ij})^2.$

A - diag (x) \cdot B \cdot diag (y) = A - B \circ (x y^{⊤})

$A - \mbox{diag}(x) \cdot B \cdot \mbox{diag}(y) = A - B \circ (x y^\top)$

In generale, mi piacerebbe trovare più vettori unitari $x$ e $y$ 's nella forma

min \underset{io j}{Σ} ({UN}_{io j} - Σ_{K = 1}^{n} S_{io} X_{io}^{(K)} y_{j}^{(K)} B_{io j})^{2} .

$\min \sum_{ij} (A_{ij} - \sum_{k=1}^n s_i x_i^{(k)} y_j^{(k)} B_{ij})^2.$ dove

s_{i}

$s_i$ sono coefficienti reali positivi.

Ciò equivale alla decomposizione del valore singolare (SVD) quando $(B)_{ij} = 1$ .

Qualcuno sa come si chiama questo problema? Esiste un noto algoritmo come SVD per la soluzione di tale problema?

(migrato da math.SE)

linear-algebra matrix reference-request

— Memming
fonte

Credo che questo sia SVD generalizzato . La voce di Wikipedia non è molto dettagliata, quindi dovresti probabilmente controllare le fonti collegate. In particolare, la pagina 466 di questo link di Google Libri potrebbe essere utile.

— ely

Per me, questo non assomiglia affatto al SVD generalizzato. Soprattutto perché B non è necessariamente diagonale o simmetrica, quindi ogni o può apparire più volte nella somma.

x

$x$

y

$y$

— Victor Liu

B non deve essere diagonale né simmetrica in SVD generalizzato. Entrambi i collegamenti che ho indicato indicano che A e B possono essere matrici di valore complesso generale rispettivamente della dimensione M per N e P per N.

— ely,

Grazie per il suggerimento @EMS. Gradirei se riesci a elaborare la connessione.

— Memming

Questo è tutt'altro che SVD generalizzato.

Se B è una matrice positiva, puoi usare il mio pacchetto BIRSVD http://www.mat.univie.ac.at/~neum/software/birsvd/

Il documento http://www.mat.univie.ac.at/~neum/software/birsvd/svd_incomplete_data.pdf che descrive il metodo in essa riportato fornisce anche riferimenti che potresti prendere in considerazione per effettuare una ricerca in letteratura.

— Arnold Neumaier
fonte

Ah, trasformando il problema in approssimazione ponderata di basso rango! Molte grazie!

— Memming

Per aggiungere dettagli alla risposta di @ Arnold, questo problema può essere trasformato in un problema di approssimazione di basso rango ponderato in cui l'obiettivo è minimizzare la norma ponderata anziché la norma di Frobenius.

dove

| | C - \sum s_{i} x_{i} y_{i}^{⊤} | |_{W}^{2}

$||C - \sum s_i \mathbf{x_i} \mathbf{y_i^\top}||^2_W$

| | C | |_{W} = | | C \circ W | |_{F}

$||C||_W = ||C \circ W||_F$

\circ

$\circ$

Sì. Questo dà un bel nome al tuo problema. Come risolverlo è una questione diversa. Non è un problema standard ed è stato abbastanza difficile trovare un algoritmo che sia veloce e affidabile.

— Arnold Neumaier,

@ArnoldNeumaier è fantastico, grazie. sarebbe possibile ottenere una licenza e un avviso di copyright con il proprio codice? Come è ora è un software proprietario. Se lo rilasci con GPLv3 o compatibile, potrebbe trovare la strada per il pacchetto di algebra lineare di GNU Octave.

— JuanPi,