So che possiamo usare tecniche di analisi matematica per dimostrare se un IVP o BVP ha una soluzione, è unico e dipende continuamente dai valori iniziali / di confine. Per alcuni PDE, in particolare i pde non lineari, è molto difficile, se non impossibile, dimostrare buona posizione. Esiste un tipo di tecnica numerica per verificare se un problema è ben posto o no?
È possibile utilizzare uno schema numerico per determinare la buona posizione di un problema di valore iniziale o limite?
Risposte:
In generale, no. Una soluzione numerica può talvolta essere utilizzata come misura approssimativa per indicare se le condizioni al contorno sono sufficienti, ad esempio per identificare domini "fluttuanti", ma ci sono molti casi in cui soluzioni discrete forniscono informazioni fuorvianti sul problema del continuum.
L'avanzamento-diffusione richiede una condizione al contorno su tutti i confini, ma i sistemi discreti non possono usare nessuna condizione al contorno del deflusso (non una condizione Neumann omogenea, intendo davvero nessuna condizione al contorno). Non solo, è più preciso della rappresentazione discreta della condizione al contorno del continuum. Vedi Papanastasiou, Malamataris, Ellwood 1992 e Griffiths 1997 per i dettagli. Una simile condizione al contorno è importante anche per lo scorrimento su superfici curve, vedi Behr 2004 .
Il "fenomeno carbonchio" affligge alcuni metodi per il flusso comprimibile. Non è ben compreso, ma schemi numerici apparentemente robusti possono convergere in soluzioni spurie. Un esempio di Robinet et al. 2000
Soluzioni spurie a incomprimibili Navier-Stokes, all'interno di un regime laminare. Un semplice esempio di cavità guidata dal coperchio è riportato in Schreiber e Keller 1983 .
Sistemi di leggi di conservazione iperbolica con dimensione relativa non fisica della dissipazione numerica. È sempre necessaria una certa dissipazione numerica, ma altrimenti metodi robusti (ad esempio Godunov) possono sistematicamente convergere in risultati errati se la dissipazione numerica finisce per non essere fisica. Un semplice esempio è riportato in Mishra e Spinolo 2011dove il metodo Godunov standard converge a un risultato errato per acque poco profonde linearizzate 1D. Questo si presenta in una forma più profonda nella simulazione di vortici di grandi dimensioni. La viscosità vorticosa è una manifestazione fisica di squame subgrid, ma se la dissipazione numerica (inevitabile) è maggiore della dissipazione fisica, la simulazione può convergere in risultati sistematicamente errati. In pratica, le chiusure di subgriglia per la viscosità vorticosa sono molto importanti. Si tratta di prendere un limite singolare lungo il percorso (fisico) corretto.
Effetti di blocco in modalità elasticità o scacchiera in flusso incomprimibile. Questi sono dovuti alla scelta di uno spazio di approssimazione instabile e ora sono molto ben compresi, almeno per problemi lineari, ma basarsi su una soluzione numerica per dedurre la buona posizione potrebbe portare a concludere che il limite incomprimibile era mal posto.