Qual è il modo più veloce per calcolare il più grande autovalore di una matrice generale?

EDIT: sto testando se gli autovalori hanno una grandezza di uno o più.

Devo trovare il più grande autovalore assoluto di una matrice sparsa, non simmetrica.

Ho usato la eigen()funzione di R , che utilizza l'algo QR di EISPACK o LAPACK per trovare tutti gli autovalori e quindi uso abs()per ottenere i valori assoluti. Tuttavia, devo farlo più velocemente.

Ho anche provato a utilizzare l'interfaccia ARPACK nel igraphpacchetto R. Tuttavia, ha dato un errore per una delle mie matrici.

L'implementazione finale deve essere accessibile da R.

Probabilmente ci saranno più autovalori della stessa grandezza.

Hai qualche suggerimento?

EDIT: la precisione deve essere solo a 1e-11. Una matrice "tipica" è stata finora . Sono stato in grado di fare una fattorizzazione QR su di esso. Tuttavia, è anche possibile avere quelli molto più grandi. Attualmente sto iniziando a leggere sull'algoritmo di Arnoldi. Capisco che è legato a Lanczsos.$386\times 386$

EDIT2: Se ho più matrici che sto "testando" e so che esiste una grande matrice che non varia. È possibile ignorarlo / scartarlo?

Dipende molto dalle dimensioni della tua matrice, nel caso di grandi dimensioni anche dal fatto che sia sparsa e dalla precisione che desideri ottenere.

Se la tua matrice è troppo grande per consentire una singola fattorizzazione e hai bisogno di un'elevata precisione, l'algoritmo di Lanczsos è probabilmente il modo più veloce. Nel caso non simmetrico, è necessario l'algoritmo di Arnoldi, che è numericamente instabile, quindi un'implementazione deve risolverlo (è piuttosto scomodo da curare).

In caso contrario, fornire informazioni più specifiche nella domanda. Quindi aggiungi un commento a questa risposta e lo aggiornerò.

Modifica: [Questo era per la vecchia versione della domanda, chiedendo il più grande autovalore.] Dato che la tua matrice è piccola e apparentemente densa, farei iterazione di Arnoldi su B = (IA) ^ {- 1}, usando un iniziale la fattorizzazione triangolare permutata di IA ha una moltiplicazione economica per B. (O calcola un inverso esplicito, ma questo costa 3 volte tanto quanto la fattorizzazione.) Vuoi verificare se B ha un autovalore negativo. Lavorando con B al posto di A, gli autovalori negativi sono molto meglio separati, quindi se ce n'è uno, dovresti convergere rapidamente.

Ma sono curioso di sapere da dove provenga il tuo problema. Le matrici non simmetriche di solito hanno autovalori complessi, quindi il "più grande" non è nemmeno ben definito. Quindi devi sapere di più sul tuo problema, che potrebbe aiutarti a suggerire come risolverlo ancora più velocemente e / o in modo più affidabile.

Edit2: è difficile ottenere con Arnoldi un particolare sottoinsieme di interesse. Per ottenere gli autovalori assolutamente più grandi in modo affidabile, eseguiresti l'iterazione del sottospazio usando la matrice originale, con una dimensione del sottospazio che corrisponda o superi il numero di autovalori previsti per essere vicino a 1 o maggiore in grandezza. Su matrici piccole, questo sarà più lento dell'algoritmo QR, ma su matrici grandi sarà molto più veloce.

$\left|\lambda_{n-1}/\lambda_{n}\right|$

$\lambda_{n-1}$$\lambda_n$

Ci sono state alcune buone ricerche su questo recentemente. I nuovi approcci utilizzano "algoritmi randomizzati" che richiedono solo poche letture della matrice per ottenere una buona precisione sugli autovalori più grandi. Ciò è in contrasto con le iterazioni di potenza che richiedono diverse moltiplicazioni matrice-vettore per raggiungere un'elevata precisione.

Puoi leggere di più sulla nuova ricerca qui:

http://math.berkeley.edu/~strain/273.F10/martinsson.tygert.rokhlin.randomized.decomposition.pdf

http://arxiv.org/abs/0909.4061

Questo codice lo farà per te:

http://cims.nyu.edu/~tygert/software.html

https://bitbucket.org/rcompton/pca_hgdp/raw/be45a1d9a7077b60219f7017af0130c7f43d7b52/pca.m

http://code.google.com/p/redsvd/

https://cwiki.apache.org/MAHOUT/stochastic-singular-value-decomposition.html

Se la lingua che preferisci non è disponibile, puoi creare facilmente il tuo SVD randomizzato; richiede solo una moltiplicazione della matrice vettoriale seguita da una chiamata a un SVD standardizzato.

Qui troverai un'introduzione algoritmica all'algoritmo Jacobi-Davidson, che calcola il massimo autovalore.

In questo documento vengono esplorati gli aspetti matematici. JD consente matrici generali (reali o complesse) e può essere utilizzato per calcolare intervalli di autovalori.

Qui puoi trovare varie implementazioni di librerie JDQR e JDQZ (inclusa un'interfaccia C, a cui dovresti essere in grado di collegarti da R).

Nel tuo post originale, dici:

"Ho anche provato a utilizzare l'interfaccia ARPACK nel pacchetto igraph R. Tuttavia, ha dato un errore per una delle mie matrici."

Sarei interessato a saperne di più sull'errore. Se riesci a rendere questa matrice pubblicamente disponibile da qualche parte, sarei interessato a provare ARPACK su di essa.

Sulla base di quanto ho letto sopra, mi aspetterei che ARPACK farebbe un ottimo lavoro nell'estrarre gli autovalori più grandi (o alcuni dei più grandi) di una matrice sparsa. Per essere più precisi, mi aspetterei che i metodi Arnoldi funzionino bene per questo caso e che, ovviamente, è su questo che si basa ARPACK.

La lenta convergenza del metodo di alimentazione in presenza di autovalori ravvicinati nella regione di interesse è stata menzionata sopra. Arnoldi migliora questo iterando con diversi vettori anziché con il metodo del potere.

Non è il modo più veloce , ma un modo ragionevolmente veloce è semplicemente colpire ripetutamente un vettore (inizialmente casuale) con la matrice e quindi normalizzare ogni pochi passaggi. Alla fine converrà nel più grande autovettore e il guadagno in norma per un singolo passo è l'autovalore associato.

Funziona meglio quando l'autovalore maggiore è sostanzialmente maggiore di qualsiasi altro autovalore. Se un altro autovalore è vicino in grandezza al più grande, ci vorrà del tempo per convergere, e potrebbe essere difficile determinare se è convergente.

Il pacchetto R rPACK funziona per me. E sembra essere molto veloce in quanto è solo un'interfaccia per ARPACK, il pacchetto standard per l'algebra lineare sparsa (che significa calcolare alcuni autovalori e autovettori).