Integrazione numerica della funzione supportata in modo compatto su un triangolo

come suggerisce il titolo, sto cercando di calcolare l'integrale di una funzione supportata in modo compatto (il polinomio quintico di Wendland) su un triangolo. Si noti che il centro della funzione si trova da qualche parte nello spazio 3D. Integra questa funzione su un triangolo arbitrario, ma piccolo ( $area < \frac{(radius/4)^2}{2}$ ). Attualmente sto usando l'integrazione descritta da Dunavant, 1985 (p = 19).

Sembra tuttavia che queste regole di quadratura non siano adatte a problemi supportati in modo compatto. Ciò è supportato dal fatto che quando integro $f(r) = [r\leq1]$ (quindi una funzione che è 1 all'interno del cerchio del raggio 1) su un piano che viene discretizzato usando i triangoli, i miei risultati (normalizzati) sono tra 1.001 e 0.897.

Quindi la mia domanda è: esiste una regola di quadratura specializzata per questo tipo di problema? Una regola di integrazione composita di ordine inferiore funzionerebbe meglio?

Purtroppo questa routine è davvero fondamentale nel mio codice, quindi la precisione è cruciale. D'altro canto, devo fare questa integrazione "un paio di volte" per un singolo intervallo di tempo, quindi la spesa computazionale non dovrebbe essere troppo elevata. La parallelizzazione non è un problema in quanto eseguirò l'integrazione stessa in seriale.

Grazie in anticipo per le tue risposte.

EDIT: il polinomio quintico di Wendland è dato da $W(q) = [q\leq2]\frac{\alpha}{h^3}(1-\frac{q}{2})^4(2q+1)$con$\alpha = \frac{21}{16\pi}$$q=\frac{\|r-r_0\|}{h}$$r_0$$\mathbb{R}^3$

EDIT2: Se $\Delta$ è il triangolo bidimensionale, allora voglio calcolare $\int_\Delta \omega(r) dr$ con $\omega(r) = W(\frac{\|r-r_0\|}{h})$ . Quindi $q$ in $W$ non sarà mai più piccolo di 0. Nota che l'integrale è un integrale di superficie su una superficie 2D in $\mathbb{R}^3$

EDIT3: ho una soluzione analitica per il problema 1-D (linea). Anche il calcolo di uno per 2-D (triangolo) potrebbe essere possibile.

Dato che la funzione è liscia all'interno di , ma non di grado fisso (nel piano, cioè), suggerirei di utilizzare un semplice schema adattivo, ad esempio la Regola trapezoidale con il metodo di Romberg , in entrambe le dimensioni.$q \leq 2$

Cioè, se il triangolo è definito dal vertici , e , e si dispone di una routine che integra lungo la linea da a , si potrebbe procedere come segue (in Matlab notazione):$x$$y$$z \in \mathbb R^3$romb(f,a,b)fab

int = romb( @(xi) romb( W , xi , y+(z-y)*(xi-x)./(z-x) ) , x , z );

In romb, non utilizzare un numero fisso di punti, ma continua a far crescere la tabella fino a quando la differenza tra due diagonali successive è inferiore alla tolleranza richiesta. Poiché la tua funzione è fluida, questa dovrebbe essere una buona stima dell'errore.

Se parti del triangolo sono al di fuori del dominio di , è possibile provare a regolare di conseguenza i limiti di integrazione nel codice sopra.$W(q)$

Questo potrebbe non essere il modo più efficiente dal punto di vista computazionale di risolvere il tuo problema, ma l'adattabilità ti darà molta più robustezza di una regola a grado fisso.

Per una buona panoramica delle regole della cubatura, vedere "R. Cools, un'enciclopedia di formule di cubatura J. Complexity, 19: 445-453, 2003". L'uso di una regola fissa può darti il ​​vantaggio che alcune regole integrano esattamente i polinomi (come fa la quadratura gaussiana in una dimensione).

Cools è anche uno dei principali autori di CUBPACK , un pacchetto software per la cubatura numerica.

Le regole di integrazione presuppongono che la funzione sia localmente ben approssimata da un polinomio di basso grado. Il tuo problema non ha nulla a che fare con il supporto compatto. Le funzioni di base radiale supportate in modo compatto sono uniformi al limite del supporto e le regole di quadratura fino all'ordine di levigatezza possono essere utilizzate senza problemi. (Le regole di ordine superiore non aiutano; quindi probabilmente non dovresti usare una regola che integri esattamente i polinomi di grado 5).

Nel tuo caso, l'imprecisione deriva dal fatto che l'assunzione di una buona approssimabilità polinomiale fallisce nel tuo caso per i triangoli vicino a , anche quando non contengono .$r_0$$r_0$

$W$ è liscia in funzione di , ma è una funzione non regolare di , con un gradiente che diventa infinito nel limite . L'integrazione è sopra e la funzione composita è una funzione non regolare di .$q$$q$$r$$r\rightarrow r_0$$r$$r$

Se il triangolo non contiene , la funzione è ma ciò non aiuta poiché la derivata superiore cresce molto rapidamente vicino a e l'errore di un metodo di ordine elevato è proporzionale a una derivata di ordine alto, quindi molto grande !$r_0$$C^inf$$r_0$

Il semplice rimedio è di dividere ogni triangolo T in un numero N_T di sottotiangoli. Puoi prendere lontano da e vicino a . Puoi capire offline quanto grande deve essere per triangoli di un dato diametro e distanza da per raggiungere la precisione desiderata. Inoltre, dovresti usare solo formule di basso ordine vicine a .$N_T=1$$r_0$$N_T\gg 1$$r_0$$N_T$$r_0$$r_0$

Quando ti integri su un triangolo, ma è tridimensionale, il triangolo è apparentemente in .$r_0$$R^3$

Un rimedio più veloce tabulerebbe quindi l'integrale per in funzione delle coordinate del triangolo (normalizzato ruotandolo in un piano bidimensionale in modo tale che un vertice si trovi sull'asse e riflettendolo in modo tale che un secondo il vertice si trova sopra di esso). Questa tabulazione deve essere sufficientemente dettagliata per rendere sufficientemente accurata un'interpolazione lineare o quadratica. Ma puoi usare prima il metodo lento descritto per creare questa tabella.$r_0=0$$xy$$x$

Un altro modo per sbarazzarsi del problema è utilizzare una funzione di base radiale supportata in modo compatto che è un polinomio in anziché in . Questo è liscio ovunque e facile da integrare.$q^2$$q$