FEM: singolarità della matrice di rigidità

Sto risolvendo l'equazione differenziale con condizioni iniziali , . Qui è un parametro. Nella forma dell'operatore possiamo riscrivere l'equazione differenziale come , dove l'operatore è definito positivo.

{(σ^{2} (x) u^{″} (x))}^{″} = f (x), 0 ⩽ x ⩽ 1

$\left( \sigma^{2}(x) u ''(x) \right)'' = f(x), \;\;\; 0 \leqslant x \leqslant 1$

u (0) = u (1) = 0

$u(0) = u(1) = 0$

u^{″} (0) = u^{″} (1) = 0

$u''(0) = u''(1) = 0$

σ (x) ⩾ σ_{0} > 0

$\sigma(x) \geqslant \sigma_{0} > 0$

A u = f

$Au = f$

A

$A$

Seguendo lo schema FEM, riduco il mio problema a un problema di ottimizzazione

J (u) = (A u, u) - 2 (f, u) \to min_{u}

$J(u) = (Au,u) - 2(f,u) \to \min_{u}$ Introduco elementi finiti

h_{k} (x)

$h_{k}(x)$ come

v_{k} (x) = {\begin{aligned} 1 - {(\frac{x - x_{k}}{h})}^{2}, & x \in [x_{k - 1}, x_{k + 1}] \\ 0, & otherwise \end{aligned}

$v_{k}(x) = \left\{ \begin{array}{rl} 1 - \left( \frac{x-x_{k}}{h} \right)^2, & x \in [x_{k-1},x_{k+1}] \\ 0, & \text{otherwise} \end{array} \right.$ per qualsiasi

k = 1, \dots, n - 1

$k = 1,\ldots,n-1$ , dove

x_{k} = h k

$x_{k} = hk$ ,

h = \frac{1}{n}

$h = \frac{1}{n}$ . Gli elementi finiti

v_{0} (x)

$v_{0}(x)$ e

v_{n} (x)

$v_{n}(x)$ sono introdotti in modo simile.

Provo a trovare numericamente il vettore $\alpha$ tale che $u(x) = \sum_{k=0}^{n} \alpha_{k} v_{k}(x)$ risolva il problema di ottimizzazione. Abbiamo

J (u) = \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{n} α_{i} α_{j} (A v_{i}, v_{j}) - \sum_{i = 0}^{n} 2 α_{i} (v_{i}, f) = α^{T} V α - 2 α^{T} b \to min_{α},

$J(u) = \sum\limits_{i=0}^{n} \sum\limits_{j=0}^{n} \alpha_{i} \alpha_{j} (Av_{i},v_{j}) - \sum\limits_{i=0}^{n} 2\alpha_{i} (v_{i},f) = \alpha^{T} V \alpha - 2\alpha^{T} b \to \min\limits_{\alpha},$ dove

b_{i} = (f, v_{i})

$b_{i} = (f,v_{i})$ e

V_{i, j} = (A v_{i}, v_{j})

$V_{i,j} = (Av_{i},v_{j})$ . Dopo la differenziazione rispetto a

α

$\alpha$ ricevo

V α = b,

$V\alpha = b,$ ma qui la matrice di rigidezza

V

$V$ è singolare. Quindi cosa devo fare? Forse devo scegliere altri elementi finiti?

finite-element

— Appliqué
fonte

Ciao, Nimza, hai un problema con il test che conosci la soluzione esatta? Se sì, prova prima a risolvere

V^{T} V α = V^{T} b

$V^T V \alpha = V^T b$ per verificare se la tua base è corretta all'interno del dominio, se tutto sembra corretto, allora forse è la BC erroneamente posizionata a rendere singolare la matrice. Ma il BC mi sembra OK.

— Shuhao Cao,

Risposte:

In ordine di probabilità decrescente

Base errata Dalla tua descrizione, sembra che tu abbia esattamente due funzioni quadratiche con supporto su ciascun elemento. Quello spazio non è una partizione di unità e non è (primi derivati continui). Per discretizzare direttamente il problema del quarto ordine (invece di ridurlo a un sistema di equazioni del secondo ordine, ad esempio), avrai bisogno di una base . Si noti che la base dovrebbe essere in grado di riprodurre esattamente tutte le funzioni lineari. $C^1$ $C^1$ $C^1$
Condizioni al contorno insufficienti. Ciò sarà palesemente ovvio se si calcola e traccia lo spazio nullo.
Assemblaggio errato. Controlla la mappa dagli elementi all'ordinamento assemblato per confermare che è quello che ti aspettavi, ad esempio che non sta invertendo l'orientamento degli elementi.
Assemblaggio locale errato. In 1D, è possibile calcolare analiticamente l'aspetto della matrice di rigidezza dell'elemento (forse per un caso semplificato) e verificare che il codice lo riproduca.

— Jed Brown
fonte

Grazie. 1. Penso che avrò bisogno di una base perché . Quindi, se considero solo funzioni che soddisfano le condizioni al contorno, allora .

C^{2}

$C^2$

(A u, v) = \int_{0}^{1} σ^{2} (x) u^{″} (x) v^{″} (x) d x

$(Au,v) = \int_{0}^{1} \sigma^{2}(x) u''(x) v''(x) dx$

\ker A = {0}

$\ker A = \{ 0 \}$

— Applicazione

È sufficiente una base , l'integrando non deve essere continuo. Si noti che le condizioni al contorno sui secondi derivati diventeranno un integrale al contorno. Puoi usare una base per la discretizzazione diretta di un problema del quarto ordine, ma dovrai integrare i termini di salto come con i metodi discontinui di Galerkin per i sistemi del primo e del secondo ordine. Non è un cattivo metodo, ma è inutilmente complicato in 1D perché è così facile costruire basi con qualsiasi ordine di continuità (es. Spline). Questo documento è un esempio di " DG".

C^{1}

$C^1$

C^{0}

$C^0$

C^{0}

$C^0$

— Jed Brown,

Ok. Ho corretto la mia base: ora su e . Ora è . Ma il metodo continua a non funzionare.

v_{k} (x) = \cos^{2} (\frac{π}{2 h} (x - x_{i}))

$v_{k}(x) = \cos^2 \left(\frac{\pi}{2h}(x-x_{i}) \right)$

[x_{i - 1}, x_{i + 1}]

$[x_{i-1},x_{i+1}]$

i = 1, \dots, n - 1

$i = 1,\ldots,n-1$

C^{1}

$C^1$

— Applicazione

La base dovrebbe essere in grado di riprodurre funzioni lineari, ma non è possibile. Una volta risolto il problema, controlla che gli integrali vengano eseguiti correttamente, quindi controlla le condizioni al contorno.

C^{1}

$C^1$

— Jed Brown,

Chiaramente il problema ha un derivato dell'ordine ODD. Più specificamente per numeri di Péclet più grandi , la matrice di rigidezza potrebbe non mantenere una forma "fine", che crea zeri durante l'assemblaggio e quindi diventa determinante singolare o talvolta molto piccolo che si nota dalle oscillazioni nel diagramma della soluzione.

La soluzione a questo tipo di problema è l'uso della pena, tra gli altri metodi. Più specificamente questo si chiama metodo Petrov-Galerkin .

Ci scusiamo per la mia pessima comprensione dell'inglese.

— Sohail Ahmed
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