Il metodo delle linee può essere utilizzato per discretizzare tutti i PDE?

Ho scoperto che il metodo delle linee è un modo molto naturale di pensare alla discretizzazione dei PDE. Pertanto, ho sempre perso questa mentalità quando mi sono presentato un nuovo set di equazioni. Non ho mai visto un PDE in cui questo non avrebbe funzionato.

Quello che mi chiedo è se ci sono metodi di discretizzazione (o tipi di PDE) che non possono essere formulati attraverso il metodo delle linee. Mi aspetto che qualsiasi PDE in cui la derivata temporale è implicita nell'equazione e per la quale non è possibile risolverlo sia uno di questi casi (anche se non conosco alcun esempio reale di ciò). Sto cercando un ragionamento sul perché il metodo delle linee sia sempre applicabile o un contro esempio.

Una situazione in cui il solito approccio del metodo delle linee non può essere usato in modo semplice è con equazioni che hanno derivate miste spazio-tempo. Per "approccio del solito metodo di linee" intendo la discretizzazione delle derivate spaziali seguita da applicazione di un metodo Runge-Kutta o multistep lineare. Questo di solito si applica solo ai sistemi di PDE di evoluzione di primo ordine (nel tempo).

Un esempio di equazioni con tali derivati ​​misti è l'Eq. (2.1) di http://epubs.siam.org/doi/pdf/10.1137/060676064 .

In almeno alcuni casi, è possibile riscrivere equazioni come sistemi di evoluzione evolutiva di primo ordine PDE, ma non vedo immediatamente un modo per farlo qui. Potrebbero esserci altri trucchi per applicare il metodo delle linee a tali equazioni, ma non le conosco.