Stima della norma di una scatola nera funzionale

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensioni finite con norma $\|\cdot\|$ e sia $F : V \rightarrow \mathbb R$ un funzionale lineare limitato. Viene fornito solo come scatola nera.

Vorrei stimare la norma di $F$ (dall'alto e dal basso). Dato che $F$ è una scatola nera, l'unico modo per farlo è testarlo con i vettori di unità da $V$ e, in base al risultato, trovare $v \in S^1 V$ che massimizza $|F(v)|$ .

Conosci un tale algoritmo? Nell'applicazione che ho in mente, $V$ è uno spazio ad elementi finiti e $F$ è una funzione complicata su quello spazio.

EDIT: La mia prima idea è di scegliere $v \in S^1 V$ modo casuale, perturbarlo in diverse direzioni, diciamo, $v_1,\dots,v_k$ , e quindi ripetere la procedura con la $v_i$ che ha ottenuto la più grande $F(v_i)$ . Non so dove trovare algoritmi e analisi per questo problema.

linear-algebra algorithms

— shuhalo
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Anche la norma è una scatola nera? O è la solita norma per gli spazi Banach,

‖ \cdot ‖_{\infty}

$\|\cdot\|_\infty$ ?

— Jack Poulson,

Inoltre, sei interessato alla norma in una regione (o in un punto) in cui la funzione ha una derivazione continua?

— Jed Brown,

@Jack: la norma dello spazio vettoriale è calcolabile e su uno spazio ad elementi finiti può essere calcolata dalla matrice di massa e dalla matrice di rigidità. (

0

$0$ -esimo e

1

$1$ derivato).

— shuhalo,

@Jed: è lineare, quindi è già differenziabile.

F

$F$

— shuhalo,

Se il tuo spazio è uno spazio di Hilbert, il teorema di Riesz dice che puoi rappresentare e puoi calcolare come menzioni provando i vettori di unità. Se lo spazio ha dimensioni superiori, questo diventa poco pratico, ma puoi almeno calcolare le stime di calcolando per una sequenza di vettori casuali . $V$ $F(v)=\left< f, v \right>$ $f$ $f$ $F(v)$ $v$

— Wolfgang Bangerth
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Forse puoi modificare lo stimatore del numero di condizioni di Hager (vedi, ad esempio, il documento http://eprints.ma.man.ac.uk/321/01/35608.pdf ), che limitaquando è nota una fattorizzazione di , per il caso specifico. $\|A^{-1}\|$ $A$

— Arnold Neumaier
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