Come si sente numericamente la debole convergenza?

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Considera, hai un problema in uno spazio di Hilbert o Banach di dimensioni infinite (pensa a un PDE o un problema di ottimizzazione in un tale spazio) e hai un algoritmo che converge debolmente in una soluzione. Se discretizzi il problema e applichi l'algoritmo discretizzato corrispondente al problema, allora una convergenza debole è convergenza in ogni coordinata e quindi anche forte. La mia domanda è:

Questo tipo di forte convergenza si sente o sembra diverso dalla convergenza ottenuta dalla vecchia e semplice forte convergenza dell'algoritmo infinito originale?

O, più concreto:

Che tipo di cattivo comportamento può accadere con un "metodo di convergenza debolmente discretizzato"?

Io stesso di solito non sono abbastanza felice quando posso solo dimostrare una debole convergenza, ma fino ad ora non ho potuto osservare alcun problema con l'esito dei metodi anche se ridimensiono il problema a problemi discretizzati a dimensioni superiori.

Si noti che non sono interessato al problema "prima discretizza che ottimizza" vs. "prima ottimizza che discretizza" e sono consapevole dei problemi che possono verificarsi se si applica un algoritmo a un problema discretizzato che non condivide tutte le proprietà con il problema per cui è stato progettato l'algoritmo.

Aggiornamento: come esempio concreto, prendere in considerazione un problema di ottimizzazione con una variabile in e risolverlo con qualcosa di simile a una divisione (inerziale) in avanti o indietro o qualche altro metodo per il quale è nota solo una debole convergenza in . Per il problema discretizzato è possibile utilizzare lo stesso metodo e con la discretizzazione corretta si ottiene lo stesso algoritmo se si discretizza direttamente l'algoritmo. Cosa può andare storto quando si aumenta la precisione della discretizzazione? $L^2$ $L^2$

algorithms convergence

— pugnale
fonte

Che tipo di metodo stai pensando a dove viene analizzata la convergenza prima che il problema della dimensione infinita venga discretizzato? Citi l'ottimizzazione, quindi stai pensando ai problemi di ottimizzazione limitati dalla PDE, per lo più o c'è qualcos'altro?

— Bill Barth,

Oltre all'ottimizzazione della PDE ho in mente problemi di variabilità geometrica (ad es. Superfici minime) e problemi di imaging (ad es. Denoising TV, segmentazione di Mumford-Shah).

— Dirk,

3

È vero che la convergenza debole è cruciale nel limite del continuum come (ad esempio, non potendo osservare alcun tasso di convergenza). Almeno negli spazi di Hilbert, è anche strettamente legato alla non unicità del limite e quindi solo alla convergenza sottosequenziale (ad esempio, dove è possibile alternare avvicinandosi a diversi punti limite, distruggendo di nuovo i tassi), ed è difficile separare l'influenza di i due sulla convergenza. $h\to 0$

Soprattutto per una debole convergenza in , hai anche il fatto che la convergenza non deve necessariamente essere puntuale, e questo puoi effettivamente osservare in una discretizzazione (sufficientemente fine). Ecco un esempio da una sequenza di minimizzatori che converge come in $L^2$ $\{u_\varepsilon\}_{\varepsilon>0}$ $\varepsilon\to 0$ cui la convergenza è debole ma non puntuale su

u (x) = {\begin{cases} - 1 & x < \frac{1}{3} \\ 0 & x \in [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \\ 1 & x > \frac{2}{3} \end{cases}

$u(x) = \begin{cases} -1 & x<\frac13 \\ 0 &x\in [\frac13,\frac23] \\ 1 &x>\frac23\end{cases}$

(ma di punto quasi dappertutto). Le figure seguenti mostrano tre elementi rappresentativi della sequenza (per

già abbastanza piccolo).

[\frac{1}{3}, \frac{2}{3}]

$[\frac13,\frac23]$

ε

$\varepsilon$

convergenza debole 1 convergenza debole 2 convergenza debole 3

Questo fenomeno è noto come "chittering" nell'approssimazione dei problemi di controllo del bang-bang per equazioni differenziali (ovvero, problemi con vincoli di casella in cui la soluzione raggiunge quasi ovunque il limite inferiore o superiore).

— Christian Clason
fonte

Ottimo esempio! Tuttavia, non ho capito quanto sia debole la convergenza legata alla non unicità. In generale non si può aggiornare la convergenza debole a una forte convergenza quando il limite è unico, giusto? Ma d'accordo, spesso si ha solo una debole convergenza e non unicità.

— Dirk,

Scusate, era mal definito; Non intendevo dire che è sempre così. Avevo in mente problemi in cui di solito ottieni anche la convergenza della norma, quindi finché hai la convergenza dell'intera sequenza, puoi "passare" a una forte convergenza (cioè, l'unica cosa che può prevenire una forte convergenza è la convergenza sottosequenziale ).

— Christian Clason,

2

La domanda che poni spesso non è di grande preoccupazione pratica perché una debole convergenza in una norma può implicare una forte convergenza in un'altra, per la stessa sequenza di soluzioni.

Per fare un esempio, supponiamo di risolvere l'equazione di Laplace con un lato destro sufficientemente liscio su un dominio poligonale convesso con elementi finiti standard. Quindi la soluzione è in , ma ovviamente la soluzione agli elementi finiti $u$ $H^2$ $u_h$ $H^1$ $u_h \rightarrow u$ $L_2$ $H^1$ $h\rightarrow 0$ $\|u-u_h\|_{L_2} \le Ch^2$ $\|u-u_h\|_{H^1} \le Ch$ .

Ma è chiaro che non possiamo aspettarci che fortemente in perché i sono solo in $u_h \rightarrow u$ $H^2$ $u_h$ $H^1$ $u_h \rightharpoonup u$ $H^2$

⟨ \nabla^{2} (u - u_{h}), \nabla^{2} v ⟩ \leq o (1) \forall v \in H^{2} .

$\left< \nabla^2 (u-u_h), \nabla^2 v\right> \le {\cal o}(1) \qquad \forall v \in H^2.$

Il punto è che la questione della convergenza debole vs forte è in genere una questione di quale norma guardi e non una proprietà della sequenza di soluzioni che ottieni dal tuo metodo.

— Wolfgang Bangerth
fonte

L^{2}

$L^2$

@ChristianClason, puoi parlare di com'è quando un tale metodo viene discretizzato. Lavorano? Eccetera?

— Bill Barth,

L^{2}

$L^2$