Qual è l'idea generale del metodo di Nitsche nell'analisi numerica?

So che il metodo di Nitsche è un metodo molto interessante poiché consente di prendere in considerazione le condizioni al contorno del tipo Dirichlet o il contatto con le condizioni al contorno dell'attrito in modo debole senza l'uso dei moltiplicatori di Lagrange. E il suo vantaggio, che è quello di trasformare una condizione al contorno di Dirichlet in termini deboli allo stesso modo di una condizione al contorno di Neumann, è pagato dal fatto che l'implementazione dipende dal modello.

Tuttavia, sembra essere troppo generale per me. Potete darmi un'idea più specifica di questo metodo? Un semplice esempio sarebbe apprezzato.

Il metodo di Nitsche è correlato ai metodi discontinui di Galerkin (in effetti, come sottolinea Wolfgang, è un precursore di questi metodi) e può essere derivato in modo simile. Consideriamo il problema più semplice, l'equazione di Poisson: Ora stiamo cercando una formulazione variazionale che

$$\left\{\begin{aligned} -\Delta u &= f \qquad\text{on }\Omega,\\ u &= g \qquad\text{on }\partial\Omega. \end{aligned}\right. \tag{1}$$

1. è soddisfatto dalla soluzione (debole) (cioè coerente),$u\in H^1(\Omega)$
2. è simmetrica in e v ,$u$$v$
3. ammette una soluzione unica (il che significa che la forma bilineare è coercitiva).

Cominciamo come al solito prendendo la forma forte dell'equazione differenziale, moltiplicando per una funzione di prova e integrando per parti. A partire dal lato destro, otteniamo ( f , v ) = ( - Δ u , v $v\in H^1(\Omega)$ dove nell'ultima equazione abbiamo aggiunto lo zero produttivo0=u-gsul limite. Riorganizzare i termini per separare le forme lineari e bilineari ora fornisce un'equazione variazionale per una forma bilineare simmetrica che è soddisfatta per la soluzioneu∈H1(Ω)di(1).

$$\begin{aligned} (f ,v) = (-\Delta u,v)&=(\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds \\ &= (\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds - \int_{\partial\Omega} (u-g)\partial_\nu v\,ds \end{aligned}$$ $0=u-g$$u\in H^1(\Omega)$$(1)$

La forma bilineare non è tuttavia coercitiva, dal momento che non puoi limitarla dal basso per di c ‖ v ‖ 2 H 1 (poiché non abbiamo alcuna condizione al contorno per arbitraria v ∈ H 1 ( Ω ) , non possiamo usare Disuguaglianza di Poincaré come al solito - questo significa che possiamo rendere L 2 parte della norma arbitrariamente grande senza cambiare la forma bilineare). Quindi dobbiamo aggiungere un altro termine (simmetrico) che svanisce per la vera soluzione: η ∫ ∂ Ω ( u - g ) $u=v$$c\|v\|_{H^1}^2$$v\in H^1(\Omega)$$L^2$ per alcuni η > 0 abbastanza grandi. Questo porta alla formulazione debole (simmetrica, coerente, coercitiva): trova u ∈ H 1 ( Ω ) tale che ( ∇ u , ∇ v ) - ∫ ∂ Ω ∂ ν u $\eta\int_{\partial\Omega} (u-g)v\,ds$$\eta>0$$u\in H^1(\Omega)$

$$(\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds - \int_{\partial\Omega} u\partial_\nu v\,ds +\eta\int_{\partial\Omega} u v\,ds = -\int_{\partial\Omega} g\partial_\nu v\,ds + \eta\int_{\partial\Omega} g v\,ds + \int_\Omega f v\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1(\Omega).$$

$u,v\in H^1(\Omega)$$u_h,v_h\in V_h\subset H^1(\Omega)$$\eta$$ch^{-1}$$c>0$

(Questa non è la derivazione originale di Nitsche, che precede i metodi discontinui di Galerkin e parte da un equivalente problema di minimizzazione. In effetti, il suo documento originale non menziona affatto la forma bilineare corrispondente, ma puoi trovarla in, ad esempio, Freund e Stenberg, Sulle condizioni al contorno debolmente imposte per problemi del secondo ordine , Atti del Nono Conf. Conf. Elementi finiti in fluidi, Venezia 1995. M. Morandi Cecchi et al., Eds. Pp. 327-336 .)