Verifica in problemi di autovalori

Cominciamo con un problema del modulo

(L + k^{2}) u = 0

$(\mathcal{L} + k^2) u=0$

con una serie di condizioni al contorno date ( Dirichlet , Neumann , Robin , Periodico , Bloch-Periodico ). Ciò corrisponde alla ricerca degli autovalori e degli autovettori per alcuni operatori $\mathcal{L}$ , in alcune geometrie e condizioni al contorno. Si può ottenere un problema come questo in acustica, elettromagnetismo, elastodinamica, meccanica quantistica, per esempio.

So che si può discretizzare l'operatore utilizzando diversi metodi, ad esempio, metodi di differenza finita per ottenere

[A] {U} = k^{2} {U}

$[A]\{U\} = k^2 \{U\}$

o usando, Metodi agli elementi finiti per ottenere

[K] {U} = k^{2} [M] {U} .

$[K]\{U\} = k^2 [M]\{U\} \enspace .$

In un caso si ottiene un problema di autovalore e un problema di autovalore generalizzato nell'altro. Dopo aver ottenuto la versione discreta del problema, si utilizza un risolutore per il problema di autovalore.

Alcuni pensieri

Il metodo di Manufactured Solutions non è utile in questo caso poiché non esiste un termine di origine per bilanciare l'equazione.
Si può verificare che le matrici e siano ben catturate usando un problema di dominio di frequenza con termine sorgente, ad es $[K]$ $[M]$

$[\nabla^{2} + ω^{2} / c^{2}] u (ω) = f (ω), \forall ω \in [ω_{min}, ω_{max}]$ $[\nabla^2 + \omega^2/c^2] u(\omega) = f(\omega) \enspace ,\quad \forall \omega \in [\omega_\min, \omega_\max]$
invece di

$[\nabla^{2} + k^{2}] u = 0 .$ $[\nabla^2 + k^2] u = 0 \enspace .$
Ma questo non verificherà i problemi del risolutore.
Forse, si possono confrontare soluzioni per metodi diversi, come FEM e FDM.

Domanda

Qual è il modo per verificare le soluzioni (coppie autovalori-autovettori) per schemi di discretizzazione a causa di metodi numerici come FEM e FDM per problemi di autovalori?

— nicoguaro
fonte

Puoi confrontare i tuoi risultati con gli spettri per casi noti (quadrato, cubo, cerchio, sfera)? Ci sono anche tassi di convergenza previsti per autovettori ed autovalori nelle norme appropriate che puoi controllare (anche se questi tassi tendono a variare a seconda della frequenza - vedi journals.cambridge.org/action/… )

— Jesse Chan

Sì, puoi confrontare con soluzioni analitiche. Ma normalmente sono previsti casi davvero semplici. La domanda è su come eseguire il processo di verifica. Se c'è qualcosa di simile al metodo oh soluzioni fabbricate. O se dovresti combinare questo metodo per altri problemi con soluzioni analitiche.

— Nicoguaro

In una dimensione, se inizi con

desiderato e hai

, potresti provare a decomporre

, se esiste

, e quindi correre con

k, v

$k,v$

(L + k^{2}) v = w \neq 0

$(\mathcal{L}+k^2)v = w \neq0$

w = f v + g v^{'}

$w = fv+gv'$

f, g

$f,g$

L^{'} = L - f - g \partial

$\mathcal{L}'=\mathcal{L}-f-g\partial$ . Questo può rovinare

simmetrie s' e altre proprietà, suppongo. Qui

L

$\mathcal{L}$

v

$v$

v^{'}

$v'$ dovrebbe essere linearmente indipendente e non può svanire nello stesso punto.

— Kirill,

@JesseChan, grazie per la lettura suggerita. Mi ci è voluto del tempo ma l'ho letto. Non penso che forniscano abbastanza informazioni per lo scopo desiderato.

— Nicoguaro

Voglio essere sicuro di averti capito correttamente. Vuoi sapere come stimare la distanza tra autovettori calcolati per operatore discreto (matrice o matrici) e autovelox corrispondente per l'operatore regolare? O vuoi ora come stimare l'accuratezza con cui hai risolto un problema di autovalore discreto?

— Carl Christian,

Risposte:

Mi rendo conto che questa domanda è vecchia, ma l'ho appena vista e la trovo interessante. In passato, ho seguito i suggerimenti trovati nei commenti di questa domanda, insieme ad alcuni casi leggermente più complicati che ho familiarità con la letteratura (Orr - Sommerfeld è sempre utile).

Tuttavia, sono anche a conoscenza di alcune pubblicazioni sugli disomogenei problemi degli autovalori che sorgono quando si costruisce una soluzione fabbricata. C'è qualche discussione su tali problemi qui: DOI: 10.1016 . Questi autori suggeriscono anche un cosiddetto Metodo di produzione di sezioni trasversali (MXS, immagino) per evitare del tutto questo problema, che al momento non pretendo di capire, ma potrebbe benissimo essere utile.

— Spencer Bryngelson
fonte

Quello che propongono come "problema di autovalori disomogenei" è l'approccio che ho proposto nel mio post originale. Sto ancora cercando di capire il metodo delle sezioni trasversali prodotte.

— Nicoguaro

Mi rendo conto che, solo suggerendo che esiste della letteratura per tali problemi, quindi potrebbe non essere un vicolo cieco come hai suggerito: "Manufactured Solutions non è utile in questo caso poiché non esiste un termine di origine per bilanciare l'equazione".

— Spencer Bryngelson,

Non è una critica al tuo post. Piuttosto il contrario! Sto solo commentando ciò che ho trovato dopo aver letto il riferimento per promuovere la discussione.

— Nicoguaro

Per il derivato del secondo ordine (e il lappone su domini semplici), sono disponibili espressioni per gli autovetture discrete (cioè dopo la discretizzazione). Ad esempio, per differenza finita, gli autovetture sono elencati qui .

L'espressione per le autovetture con una discretizzazione ad elementi finiti può essere trovata in modo simile (per la discretizzazione P1 e P2).

— user7440
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