Elementi di Raviart-Thomas sul quadrato di riferimento

Mi piacerebbe sapere come funziona l'elemento Raviart-Thomas (RT). A tal fine, vorrei descrivere analiticamente come appaiono le funzioni di base sul quadrato di riferimento. L'obiettivo qui non è di implementarlo da solo, ma piuttosto di ottenere una comprensione intuitiva dell'elemento.

Sto ampiamente basando questo lavoro sugli elementi triangolari discussi qui , forse estenderlo ai quadrilateri è un errore in sé.

Detto questo, posso definire le funzioni di base per il primo elemento RK RK0:

$$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}) = \mathbf{a} + \mathbf{b}\mathbf{x} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 x\\a_2 + b_2 y\end{pmatrix}$$ per$i = 1,\dots,4.$

Le condizioni su sono che:$\mathbf{\phi}_i$

$$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}_j)\cdot\mathbf{n}_j = \delta_{ij}$$

dove è l'unità normale mostrata di seguito e è la sua coordinata.x$\mathbf{n}_j$$\mathbf{x}_j$

Questo è il quadrato di riferimento $[-1,1]\times[1,1]$ , quindi questo porta a un sistema di equazioni per ciascuna funzione di base. Per $\mathbf{\phi}_1$ questo è:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2\\ b_1\\ b_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0\end{pmatrix}$$

che può essere risolto per dare:

$$\mathbf{\phi}_1(\mathbf{x}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 + x\\ 0\end{pmatrix}$$

Le altre funzioni di base possono essere trovate in modo simile.

Supponendo che ciò sia corretto, il passaggio successivo è trovare le funzioni di base per RK1. È qui che mi sto insicuro un po '. Secondo il link sopra, lo spazio a cui siamo interessati è:

$$P_1(K) + \mathbf{x}P_1(K)$$

Una base per sarebbe { 1 , x , y $P_1$$\{ 1, x, y\}$

Penso che questo significhi che le funzioni di base di RK1 dovrebbero assumere la forma:

$$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 x + c_1 y + d_1 x^2 + e_1 xy\\ a_2 + b_2 x + c_2 y + d_2 xy + e_2 y^2\end{pmatrix}$$

Questo lascia 10 incognite per ogni funzione di base. Se applichiamo le stesse condizioni del caso RK0, vale a dire:

n

$$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}_j)\cdot\mathbf{n}_j = \delta_{ij}$$ , dove è l'unità normale come mostrato di seguito:$\mathbf{n}_j$

questo ci dà 8 equazioni. Le altre 2 penso che possano essere trovate da alcuni momenti. Non sono sicuro di come esattamente. Il link sopra parla dell'integrazione con una base per , ma ho difficoltà a capire cosa significhi. Sono sulla strada giusta o ho perso completamente qualcosa qui?$[P_1]^2$

In generale, non puoi semplicemente trasferire la stessa base polinomiale da elementi tetraedrici a elementi quadrilatero. ¹ In particolare, il punto centrale degli elementi quadrilaterali è lavorare con prodotti tensoriali di polinomi monodimensionali, cosa impossibile per gli elementi tetraedrici.

Esistono infatti elementi quadrilaterali Raviart-Thomas, ma la loro definizione è diversa. In due dimensioni, lo spazio polinomiale per è dato da dove Un polinomio tipico per sarebbe quindi come hai scritto, ma per sarebbe Quindi, , e in generale,P k + 1 , k × P k , k + 1 , P k , l = { k ∑ i = 0 l ∑ j = 0 a i j x i y j : a i j ∈ R } . k = 0 k = 1 ( a 1 + b 1$RT_k$

$$P_{k+1,k} \times P_{k,k+1},$$ $$P_{k,l} = \left\{\sum_{i=0}^k\sum_{j=0}^l a_{ij} x^iy^j: a_{ij}\in\mathbb{R}\right\}.$$ $k=0$$k=1$dimRT1=12dimRTk=2 $$\begin{pmatrix} a_1 + b_1 x + c_1 x^2 + d_1 y + e_1 xy + f_2 x^2y\\ a_2 + b_2 y + c_2 y^2 + d_2 x + e_2 xy + f_2 xy^2 \end{pmatrix}.$$ $\dim RT_1 = 12$R T k k + $\dim RT_k = 2(k+1)(k+2)$. Ciò significa che sono necessari due gradi di libertà aggiuntivi, che dovrebbero trovarsi all'interno dell'elemento. (In generale, per prendi derivate normali su ogni aspetto e i rimanenti gradi di libertà dall'interno.)$RT_k$$k+1$

Per rispondere alla tua domanda reale: per gli elementi Raviart-Thomas, di solito prendi dei momenti anziché delle valutazioni dei punti, cioè le condizioni rimanenti provengono dalle condizioni dove sono una base di ( ad es. per ). Per rendere più semplice ottenere una base nodale completa, i gradi sfaccettati della libertà di solito non sono presi come valutazione puntuale, ma anche come condizioni del momento: dove è uno dei quattro bordi, è il normale esterno corrispondente e per ogni

$$\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \phi_i(x,y) q_j(x,y) dx\,dx=\delta_{ij},$$ $\{q_j\}$$P_{k-1,k}\times P_{k,k-1}$$\{1,x,y\}$$k=1$ $$\int_{e_m} \phi_i(s)^T\nu_{e_m} \, q_{m,j}(s)\,ds,$$ $e_m$$\nu_{e_m}$$m$, formano una base di (ad es. o per seconda dell'orientamento del bordo). Insieme, questi gradi di libertà sono insolubili (ovvero, il sistema corrispondente di funzioni di base è sempre invertibile).$q_{m,j}$$P_k(e_m)$$\{1,x\}$$\{1,y\}$$k=1$

Puoi trovare una discussione su Raviart-Thomas-Elements quadrilatero nel capitolo 2.4.1 di Boffi, Brezzi, Fortin: Metodi e applicazioni agli elementi finiti misti , Springer 2013 , Arnold, Boffi, Falk: elementi finiti quadrilaterali$H(div)$ , SINUM 42 (5), 2005, pagg. 2429-2451 e il capitolo 3.2.3 degli appunti di Ronald Hoppe .

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_{1. Come regola empirica, uno spazio polinomiale dell'ordine su elementi tetraedrici contiene monomi i cui poteri si sommano a , mentre uno spazio dell'ordine su elementi quadrilatero contiene monomi il cui potere massimo è . Ad esempio, sarebbe di ordine su tetraedri, ma solo di ordine su quadrilateri. $k$$k$$k$$k$$x^2y$$3$$2$}