Multigrid su griglia "non perfettamente rettangolare"

Le presentazioni multigrid normalmente usano una griglia rettangolare. L'interpolazione dei valori è quindi semplice: basta interpolare linearmente sul bordo tra due nodi adiacenti della griglia grossolana per trovare il valore del nodo della griglia fine su quel bordo.

Per un'applicazione FEM ho una griglia che è "topologicamente" rettangolare in modo che le connessioni dei nodi siano come su una griglia rettangolare. Tuttavia, i nodi non sono perfettamente allineati su una griglia ma possono percorrere piccole distanze per adattarsi meglio alla geometria, mantenendo comunque le connessioni come in una griglia rettangolare perfetta.

La mesh ha un aspetto simile al seguente: esempio di mesh . Vedete: le connessioni sono "regolari rettangolari", ma le posizioni dei nodi no.

Posso immaginare diversi schemi di interpolazione geometrica "ragionevoli" per tale impostazione.

La domanda generale è: il multigrid richiede una griglia rettangolare perfettamente allineata o funzionerà anche con la situazione sopra descritta, purché l'interpolazione sia "buona"? O è meglio usare multigrid algebrico in quel caso? (Che non preferisco poiché non è così intuitivo come il multigrid geometrico.)

Multigrid non ha bisogno di una griglia uniforme cartesiana (rettangolare). Ciò di cui ha bisogno è che sia possibile definire un livello fine e uno approssimativo (possibilmente ricorsivamente, se si desidera passare da uno schema a due livelli a uno a più livelli) e che è possibile definire operatori di interpolazione tra questi livelli. Il modo più semplice per spiegarlo è se hai davvero una griglia cartesiana, ma puoi effettivamente iniziare con qualsiasi mesh grossolana, perfezionarla una volta e così: hai una mesh più fine.

In altre parole, è più facile pensare a maglie adatte a più migranti non come una maglia fine e a come trovare le maglie più grossolane, ma a iniziare con una maglia grossolana da cui si ottengono i livelli più fini con un raffinamento uniforme (cioè, ogni quadrilatero è suddiviso in quattro più piccoli). Poiché la raffinatezza uniforme è sempre possibile, questo ti dà prontamente una gerarchia. Ciò si oppone al grossolana, che non è sempre possibile se ti viene appena assegnata una mesh particolare, e quindi rende la definizione di una gerarchia di mesh molto più complicata. (Ecco perché le persone hanno escogitato metodi multigrid algebrici per definire i livelli grossolani basati solo sulla matrice, senza pensare alla mesh sottostante da cui è stata creata.)

Diciamo che hai la seguente griglia composta da elementi rettangolari:

Ora, se esegui la tua interpolazione assumendo una normale griglia rettangolare strutturata, introducerai errori associati a questa interpolazione imprecisa. In altre parole, quando limiti il ​​tuo vettore residuo e quando prolunghi il tuo vettore di errore ci saranno errori dall'interpolazione.

Ora, se la tua griglia è "vicina" ad essere una normale griglia cartesiana strutturata, questo potrebbe funzionare, almeno all'inizio, ma sospetto che accadrà una di queste due cose a seconda di quanto la griglia è rettangolare:

1) Potresti scoprire che all'inizio il multigrid inizia a convergere. Dopotutto inizialmente il tuo errore è comunque grande e la tua interpolazione "approssimativa" significa solo che alcuni nodi sono leggermente sovrarappresentati mentre altri sono leggermente sottorappresentati. Tuttavia, potresti scoprire che la convergenza ristagna quando la soluzione diventa più accurata e gli errori di interpolazione diventano più importanti.

2) Un'altra possibilità è che il multigrid finisca per convergere, ma non così velocemente come se avesse usato l'interpolazione corretta.

Fondamentalmente stando fuori dalla tua interpolazione stai soppesando in modo impreciso l'importanza di alcuni nodi. Ad esempio in 2D se si sta ponderando un determinato nodo come:

quando in verità perché la tua griglia non è esattamente cartesiana dovrebbe essere:

quindi ciò comporterà alcuni errori. Se questo errore impedisce la convegenza dipenderà probabilmente dalla distanza dalla tua griglia dall'essere cartesiana.

Mentre AMG è più difficile da capire / implementare, sembra che sia il metodo corretto per la tua griglia. L'applicazione del multigrid geometrico su una griglia rettangolare "approssimativa" può funzionare, ma immagino che sia una soluzione di cerotto al massimo. Spero che sia di aiuto.

Aggiornamento : penso che ci possa essere stato un po 'di confusione nella mia risposta. Non sto dicendo che il multigrid geometrico funzionerà solo con le maglie cartesiane, ma piuttosto che definire l'interpolazione (e quindi la restrizione) sulle maglie cartesiane è facile, mentre sulle maglie non strutturate può essere difficile. Ad esempio, si consideri il caso anche di un semplice dominio 2D con una trama triangolare. Affinare questa mesh è facile - almeno concettualmente - ma come definiresti un operatore di interpolazione tra la mesh grossolana e quella fine? Preferisco AMG semplicemente perché si comporta più come un solutore "black box", cioè non ha bisogno di informazioni sulla mesh sottostante, tuttavia questa è solo la mia inclinazione / stranezza. Il multigrid geometrico può funzionare purché sia ​​possibile fornire operatori di interpolazione precisi.