Integrale nello spazio log-log

Sto lavorando con funzioni che, in generale, sono molto più fluide e si comportano meglio nello spazio log-log --- quindi è lì che eseguo l'interpolazione / estrapolazione, ecc., E funziona molto bene. Esiste un modo per integrare queste funzioni numeriche nello spazio log-log?

cioè spero di usare una sorta di semplice regola trapezoidale per eseguire un integrale cumulativo (ad esempio in pitone, usare scipy.integrate.cumtrapz), per trovare qualche st$F(r)$

$$F(r) = \int_0^r y(x) \, dx$$

Ma spero di usare i valori e l o g ( x ) , anziché y e x (quando possibile).$log(y)$$log(x)$$y$$x$

Puoi semplicemente cambiare le variabili. Impostazione , b ( a ) = l o g ( y ( x ) ) . L'integrale diventa$a=log(x)$$b(a)=log(y(x))$

$F(r)=\int^{log(r)}_{-\infty} exp(a+b) da$

Devi stare un po 'attento perché ti stai integrando da . Quello che devi fare esattamente dipenderà dall'aspetto di y ( x ) .$-\infty$$y(x)$

Non uso Python, ma se capisco correttamente allora con stai pensando a qualcosa come F = i n t e g r a t e ( y , x ) dove F = [ F 1 , . . . , F n ] è un vettore che campiona l'integrale su una griglia x .

$$F(r)=\int_0^ry(x)dx$$ $$\mathbf{F}=\mathrm{integrate}(\mathbf{y},\mathbf{x})$$ $\mathbf{F}=[F_1,...,F_n]$$\mathbf{x}$

Tuttavia non si dispone di campioni di ed y , ma piuttosto si deve campioni di x = log ( x ) e y = log ( y ) .$x$$y$$\hat{x}=\log(x)$$\hat{y}=\log(y)$

Naturalmente la soluzione più semplice sarebbe ma questa sarebbe soggetto ad errori, perché y ( x ) non è liscia, anche se y ( x ) è.

$$\mathbf{F}=\mathrm{integrate}(\exp(\mathbf{\hat{y}}),\exp(\mathbf{\hat{x}})) ,$$ $y(x)$$\hat{y}(\hat{x})$

Ora la regola trapezoidale presuppone essenzialmente che il tuo input sia lineare a tratti. Così la semplice generalizzazione sarebbe per voi assumere che y ( x ) è lineare a tratti.$y(x)$$\hat{y}(\hat{x})$

In questo caso, definendo , si ha Δ F k = ∫ x k + 1 x k y ( x ) d x = ∫ x k + 1 x k e y ( x ) e x d x = ∫ x k $\Delta F_k=F_{k+1}-F_k$

$$\Delta F_k=\int_{x_k}^{x_{k+1}}y(x)dx =\int_{\hat{x}_k}^{\hat{x}_{k+1}}e^{\hat{y}(\hat{x})}e^\hat{x}d\hat{x} =\int_{\hat{x}_k}^{\hat{x}_{k+1}}\tilde{y}(\hat{x})d\hat{x}$$

Poi, definendo , si ha y k + t ≈ y k + t Δ y k e ~ y ( t ) ≈ una e b t , con un = e y k + x k e b = $t=(\hat{x}-\hat{x}_k)/\Delta \hat{x}_k$

$$\hat{y}_{k+t} \approx \hat{y}_k + t \Delta \hat{y}_k$$ $\tilde{y}(t) \approx a e^{bt}$$a=e^{\hat{y}_k+\hat{x}_k}$.$b=\Delta \hat{y}_k+\Delta \hat{x}_k$

Quindi l'integrale diventa

$$\Delta F_k \approx a \Delta \hat{x} \int_0^1e^{bt}dt = a \Delta \hat{x} \frac{e^b-1}{b}$$

In Matlab questo sarebbe simile

dlogx=diff(logx); dlogy=diff(logy); k=1:length(logx)-1;  
b=dlogx+dlogy; a=exp(logx+logy);  
dF=a(k).*dlogx.*(exp(b)-1)./b;  
F=cumsum([0,dF]);

Spero che sia di aiuto!

$y(x)$$\hat{y}(\hat{x})$$\mathbf{\hat{x}}$$F(\hat{x}_1)=0$

$(x_i, y_i)$$(x_{i+1}, y_{i+1})$$y = C_i x^{n_i}$$i$$n_i = \ln(y_i/y_{i+1})/\ln(x_i/x_{i+1})$$C_i = \ln(y_i) - n_i\ln(x_i)$$i$

$$\Delta F_i = \int_{x_i}^{x_{i+1}} C_i x^{n_i}dx = \left\{ \begin{array}{l@{\quad}l} \frac{C_i}{n_i + 1} (x_{i+1}^{n_i+1} - x_i^{n_i+1}), & n_i \neq -1 \\ C_i(\ln x_{i+1} - \ln x_i), & n_i=-1, \end{array} \right.$$ $n_i=-1$

Penso che ci sia un po 'di confusione con il cambiamento delle variabili in alcune delle risposte precedenti e alcuni errori. L'integrale di una funzione di registro non è il registro dell'integrale. Penso che in generale sia difficile scrivere l'integrale di una funzione conoscendo l'integrale del suo registro. Se qualcuno sapesse come fare, sarei interessato.

Nel frattempo, la soluzione di @ Stefan sopra è il modo per aggirare l'integrazione di una funzione nello spazio log-log. Il punto di partenza è che la funzione che stai trattando è lineare nello spazio log-log per segmenti abbastanza piccoli.

$$\log(y_1)=m_1 \log(x_1) + n_1$$ $$\log(y_2)=m_1 \log(x_1) + n_1$$

$m_1$$n_1$

Sottraendo i due, si può trovare:

$$m_1=\frac{\log(y_1) -log(y_2)}{\log(x_1)-log(x_2)}$$

$$n_1=\log(y_1)-m_1 \log(x_1)$$

Se nello spazio log-log l'equazione di un segmento è vicina a una linea, allora nello spazio normale (lineare) l'equazione del segmento è vicina a un esponenziale:

$$y(x)\simeq x^{m} e^{n}$$

Se disponiamo di una formulazione analitica per questo segmento, è facile da integrare:

$$\int_{x_1}^{x_2}y(x)dx = \frac{e^{n_1}}{m_1+1}(x_2^{m_1+1}-x_1^{m_1+1}), \,\, \text{for } \, m\neq -1$$

$$\int_{x_1}^{x_2}y(x)dx = e^{n_1} \log \frac{x_2}{x_1},\, \,\text{for } \, m = -1$$

È un po 'come imbrogliare, ma si tratta di campionare nello spazio log-log in modo tale da poter approssimare la funzione nello spazio lineare a un esponenziale con parametri derivati ​​dallo spazio log-log.

La soluzione che utilizzo è sostanzialmente un'implementazione della regola del trapezio e utilizza la scipy.misc.logsumexpfunzione per mantenere la precisione. Se hai qualche funzione lnyche restituisce il logaritmo di yallora puoi farlo, ad esempio:

da scipy.misc import logsumexp
importa numpy come np

xmin = 1e-15
xmax = 1e-5

# ottiene logaritmicamente i valori di x spaziati
xvs = np.logspace (np.log10 (xmin), np.log10 (xmax), 10000)

# valuta la tua funzione su xvs
lys = lny (xvs)

# esegue l'integrazione della regola del trapezio
deltas = np.log (np.diff (xvs))
logI = -np.log (2.) + logsumexp ([logsumexp (lys [: - 1] + delta), logsumexp (lys [1:] + delta)])

Il valore logIè il registro dell'integrale desiderato.

Ovviamente questo non funzionerà se è necessario impostare xmin = 0. Ma, se hai un limite inferiore positivo diverso da zero all'integrale, puoi semplicemente giocare con il numero di punti xvsper trovare un numero in cui l'integrale converge.