In FEM, perché la matrice di rigidità è definita positiva?

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Nelle classi FEM, di solito è dato per scontato che la matrice di rigidità sia definita positiva, ma non riesco proprio a capire il perché. Qualcuno potrebbe dare qualche spiegazione?

Ad esempio, possiamo considerare il problema di Poisson: cui matrice di rigidità è: che è simmetrico e definito positivo. La simmetria è una proprietà ovvia, ma la certezza positiva non è così esplicita per me.

- \nabla^{2} u = f,

$-\nabla^2 u = f,$

K_{i j} = \int_{Ω} \nabla φ_{i} \cdot \nabla φ_{j} d Ω,

$K_{ij} = \int_\Omega\nabla\varphi_i\cdot\nabla\varphi_j\, d\Omega,$

finite-element matrix stiffness

— user123
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Questo in realtà dipende dall'equazione differenziale parziale che si sta tentando di risolvere. Puoi aggiungere quello che ti interessa?

— Christian Clason,

Ciao @ChristianClason, grazie per il tuo commento. Ho aggiunto un esempio concreto di questo problema.

— user123,

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Avvertenza: senza condizioni al contorno, la matrice di rigidità completa del sistema, assemblata da matrici di elementi, non ha un rango completo, poiché deve mappare l'equivalente dei movimenti del corpo rigido a zero forze. Pertanto, la matrice di rigidità completa può al massimo essere semidefinita positiva. Tuttavia, con condizioni al contorno adeguate, i movimenti del corpo rigido sono disabilitati e il sistema vincolato è quindi non singolare. (Altrimenti non si potrebbe risolverlo). Pertanto, per trovare l'effettiva definitività positiva, è necessario esaminare la matrice condensata risultante dall'applicazione delle condizioni al contorno.

— lunedì

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La proprietà segue dalla proprietà dell'equazione differenziale parziale corrispondente (forma debole); questo è uno dei vantaggi dei metodi agli elementi finiti rispetto, ad esempio, ai metodi alle differenze finite.

Per vederlo, ricorda innanzitutto che il metodo degli elementi finiti inizia dalla forma debole dell'equazione di Poisson (suppongo qui le condizioni al contorno di Dirichlet): Trova tale che La proprietà importante qui è che (Questo deriva dalla disuguaglianza di Poincaré.) $u\in H^1_0(\Omega)$

a (u, v) := \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x = \int_{Ω} f v d x for all v \in H_{0}^{1} (Ω) .

$a(u,v):= \int_\Omega \nabla u\cdot \nabla v \,dx = \int_\Omega fv\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega).$

\begin{matrix} (1) & a (v, v) = ‖ \nabla v ‖_{L^{2}}^{2} \geq c ‖ v ‖_{H^{1}}^{2} for all v \in H_{0}^{1} (Ω) . \end{matrix}

$a(v,v) = \|\nabla v\|_{L^2}^2 \geq c \|v\|_{H^1}^2 \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega). \tag{1}$

Ora l'approccio classico agli elementi finiti è quello di sostituire lo spazio infinito-dimensionale con un sottospazio di dimensioni finite e trovare tale che L'importante proprietà qui è che stai usando lo stesso e un sottospazio (una discretizzazione conforme ); ciò significa che hai ancora $H^1_0(\Omega)$ $V_h\subset H^1_0(\Omega)$ $u_h\in V_h$

\begin{matrix} (2) & a (u_{h}, v_{h}) := \int_{Ω} \nabla u_{h} \cdot \nabla v_{h} d x = \int_{Ω} f v_{h} d x for all v_{h} \in V_{h} . \end{matrix}

$a(u_h,v_h):= \int_\Omega \nabla u_h\cdot \nabla v_h \,dx = \int_\Omega fv_h\,dx \qquad\text{for all }v_h\in V_h.\tag{2}$

a

$a$

V_{h} \subset H_{0}^{1} (Ω)

$V_h\subset H^1_0(\Omega)$

\begin{matrix} (3) & a (v_{h}, v_{h}) \geq c ‖ v_{h} ‖_{H^{1}}^{2} > 0 for all v_{h} \in V_{h} . \end{matrix}

$a(v_h,v_h) \geq c \|v_h\|_{H^1}^2 >0 \qquad\text{for all }v_h\in V_h. \tag{3}$

Ora per l'ultimo passaggio: per trasformare la forma variazionale in un sistema di equazioni lineari, scegli una base di , scrivi e inserisci , in . La matrice di rigidezza ha quindi le voci (che coincide con quello che hai scritto). $\{\varphi_1,\dots,\varphi_N\}$ $V_h$ $u_h =\sum_{i=1}^N u_i\varphi_i$ $v_h=\varphi_j$ $1\leq j\leq N$ $(2)$ $K$ $K_{ij}=a(\varphi_i,\varphi_j)$

Ora prendi un vettore arbitrario e imposta . Quindi abbiamo per e la bilinearità di (cioè, puoi spostare scalari e somme in entrambi gli argomenti) Poiché era arbitrario, ciò implica che è definito positivo. $\vec v=(v_1,\dots,v_N)^T\in \mathbb{R}^N$ $v_h:=\sum_{i=1}^Nv_i \varphi_i\in V_h$ $(3)$ $a$

{\vec{v}}^{T} K \vec{v} = \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} v_{i} K_{i j} v_{j} = \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} a (v_{i} φ_{i}, v_{j} φ_{j}) = a (v_{h}, v_{h}) > 0.

$\vec v^T K \vec v = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N v_iK_{ij} v_j = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N a(v_i\varphi_i,v_j\varphi_j) = a(v_h,v_h) >0.$

\vec{v}

$\vec v$

K

$K$

TL; DR: la matrice di rigidezza è definita positiva perché deriva da una discretizzazione conforme di un'equazione differenziale parziale ellittica (autoaggiunta) .

— Christian Clason
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Se la rigidità dell'elemento non è positiva, il sistema non è stabile. Quindi il modello molto probabilmente non è corretto. Guarda l'equazione più elementare dell'oscillatore armonico

m x^{″} (t) + k x (t) = f (t)

$m x''(t) + k x(t) = f(t)$

La soluzione è instabile se è negativo (osserva le radici dell'equazione caratteristica). Significa che la soluzione esploderà. La rigidità deve essere una forza di ripristino. Almeno per una molla fisica. La matrice di rigidezza si estende a un gran numero di elementi (matrice di rigidità globale). Questo è tutto. Ma è la stessa idea di base. La base FEM è nel metodo della matrice di rigidezza per l'analisi strutturale in cui ogni elemento ha una rigidità associata. $k$

— Nasser
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