Multigrid algebrico: perché il prodotto di interpolazione e restrizione non risulta in qualcosa con la norma 1?

Attualmente sto lavorando con "A Multigrid Tutorial" di Briggs et al, capitolo 8.

La costruzione dell'operatore di interpolazione è data come:

Quindi la costruzione dell'operatore di restrizione e dell'operatore di griglia fine viene data come:

Supponiamo di avere tre punti della griglia x0, x1, x2 con quello centrale x1 va bene e gli altri sono grossolani. Quello centrale è interpolato da x1 = x0*w0 + x2*w2. Pertanto, l'operatore di interpolazione è (in Matlab):

I = [1, 0, 0; w0, 0, w2; 0, 0, 1]

I =

[  1, 0,  0]
[ w0, 0, w2]
[  0, 0,  1]

L'operatore di restrizione è quindi:

transpose(I)

ans =

[ 1, w0, 0]
[ 0,  0, 0]
[ 0, w2, 1]

Ora vediamo cosa succederebbe se uno si limitasse e quindi interpolasse direttamente, cosa si traduce in una moltiplicazione di Ie transpose(I):

I*transpose(I)

ans =

[  1,          w0,  0]
[ w0, w0^2 + w2^2, w2]
[  0,          w2,  1]

Mi aspetto che questa matrice sia qualcosa di simile a una matrice di identità o almeno abbia la norma 1 o qualcosa del genere. Ma se applichiamo x = [1, 1, 1] per diciamo w0 = w2 = 0,5, otterremmo [1.5 1.5 1.5]. Suppongo che le operazioni di restrizione-interpolazione applicate ripetutamente converrebbero almeno in qualcosa. Ma no, in quel caso tutti i componenti vettoriali vengono moltiplicati per 1,5 per ogni restrizione-interpolazione. Mi sembra molto strano.

Qualcuno può spiegare cosa sta succedendo?

$x$

$I^TI$

$E$$EI$$EI$$(EI)(EI)=EI$