Multigrid algebrico: perché il prodotto di interpolazione e restrizione non risulta in qualcosa con la norma 1?


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Attualmente sto lavorando con "A Multigrid Tutorial" di Briggs et al, capitolo 8.

La costruzione dell'operatore di interpolazione è data come: inserisci qui la descrizione dell'immagine

Quindi la costruzione dell'operatore di restrizione e dell'operatore di griglia fine viene data come:

inserisci qui la descrizione dell'immagine

Supponiamo di avere tre punti della griglia x0, x1, x2 con quello centrale x1 va bene e gli altri sono grossolani. Quello centrale è interpolato da x1 = x0*w0 + x2*w2. Pertanto, l'operatore di interpolazione è (in Matlab):

I = [1, 0, 0; w0, 0, w2; 0, 0, 1]

I =

[  1, 0,  0]
[ w0, 0, w2]
[  0, 0,  1]

L'operatore di restrizione è quindi:

transpose(I)

ans =

[ 1, w0, 0]
[ 0,  0, 0]
[ 0, w2, 1]

Ora vediamo cosa succederebbe se uno si limitasse e quindi interpolasse direttamente, cosa si traduce in una moltiplicazione di Ie transpose(I):

I*transpose(I)

ans =

[  1,          w0,  0]
[ w0, w0^2 + w2^2, w2]
[  0,          w2,  1]

Mi aspetto che questa matrice sia qualcosa di simile a una matrice di identità o almeno abbia la norma 1 o qualcosa del genere. Ma se applichiamo x = [1, 1, 1] per diciamo w0 = w2 = 0,5, otterremmo [1.5 1.5 1.5]. Suppongo che le operazioni di restrizione-interpolazione applicate ripetutamente converrebbero almeno in qualcosa. Ma no, in quel caso tutti i componenti vettoriali vengono moltiplicati per 1,5 per ogni restrizione-interpolazione. Mi sembra molto strano.

Qualcuno può spiegare cosa sta succedendo?


1
I3×32×3

Risposte:


8

x


Lo capisco. Ma almeno suppongo che l'applicazione ripetuta di restrizioni e interpolazioni convergere contro qualcosa. Ma no - nel caso precedente tutti gli elementi vettoriali verranno moltiplicati per 1,5 per ogni restrizione-interpolazione. Mi sembra strano.
Michael,

Certo: alcune risposte brevi. (1) Il livellamento e la normalizzazione non vengono presi in considerazione, che di solito vengono applicati in tandem con interpolazione / restrizione. (2) Parte potrebbe essere la scelta dei pesi. Questi spesso corrispondono a diverse scelte di operatori di interpolazione / restrizione, alcuni dei quali comportano comportamenti decisamente migliori rispetto ad altri. (3) Esistono altri operatori interp / limit per i quali interp + limit è una proiezione. Ad esempio, puoi fare proiezioni globali da griglie grosse a grosse, ma questo è costoso e non vale la pena per un risolutore.
Jesse Chan,

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