Soluzioni forti contro deboli di PDE

La forma forte di un PDE richiede che la soluzione sconosciuta appartenga a . Ma la forma debole richiede solo che la soluzione sconosciuta appartenga a H 1 .$H^2$$H^1$

Come conciliare questo?

Diamo un'occhiata al caso più semplice dell'equazione di Poisson

$$-\Delta u = f \tag{1}$$ su un dominio $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ insieme a condizioni di Dirichlet omogenee $$u|_{\partial\Omega} = 0 \tag{2}$$ sul confine $\partial\Omega$ di $\Omega$ . Assumiamo per ora che $\partial\Omega$ è liscia come vogliamo (ad esempio, può essere parametrizzata una $C^\infty$ funzione) - questo sarà importante in seguito.

La domanda ora è come interpretare il PDE $(1)$ puramente formale) ( 1 ) . Di solito, si risponde in termini di come interpretare la derivata $\Delta$ , ma per il nostro scopo è meglio concentrarsi su come interpretare l' equazione .

1. Si presume che il PDE $(1)$ rimanga in senso puntuale per ogni $x\in\Omega$ . Affinché ciò abbia un senso, il lato destro $f$ deve essere continuo, altrimenti non possiamo parlare di valori puntuali $f(x)$ . Ciò significa che la seconda derivata (classica) della soluzione $u$ deve essere continua, cioè dobbiamo cercare $u\in C^2(\Omega)$ .
   
   Una funzione $u\in C^2(\Omega)$ che soddisfa $(1)$insieme alla condizione al contorno $(2)$ viene chiamata puntualmente una soluzione classica (a volte, purtroppo, anche una soluzione forte ).

2. Il requisito che $f$ sia continuo è troppo restrittivo per le applicazioni pratiche. Se assumiamo solo $(1)$ per tenere puntualmente per quasi ogni $x\in \Omega$ (ovvero, ovunque tranne per gli insiemi di Lebesgue misura zero), allora possiamo ottenere via con $f\in L^2(\Omega)$ . Ciò significa che le seconde derivate sono funzioni in $L^2$ , il che ha senso se prendiamo derivati ​​deboli e quindi cerchiamo $u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ . (Ricorda che per le funzioni$u$ che non sono continue, non possiamo prendere la condizione al contorno$(2)$ puntuale. Dato che$\partial \Omega$ ha una misura di Lebesgue pari a zero come sottoinsieme di$\bar\Omega$ , in senso puntuale quasi ovunque non ha senso neanche.)
   
   Una funzione$u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ che soddisfa$(1)$ puntuale quasi ovunque si chiamasoluzione forte. Si noti che in generale è necessario e non banale dimostrare che tale soluzione esiste ed è unica (come nel caso dell'esempio qui).

3. Se abbiamo già a che fare con derivati ​​deboli, possiamo anche allentare ulteriormente le ipotesi su $f$ . Se prendiamo $(1)$ come equazione dell'operatore astratto in $H^{-1}(\Omega)$ , il doppio spazio di $H^1_0(\Omega)$ , allora questo ha senso per tutto $f\in H^{-1}(\Omega)$ (che è un spazio maggiore di $L^2(\Omega)$ ). Praticamente per definizione del doppio spazio e della derivata debole, $(1)$in questo senso equivale all'equazione variazionale

   $$\int_\Omega \nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\,dx = \int_\Omega f(x)v(x)\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega)\tag{3}.$$
   Una funzione$u\in H^1_0(\Omega)$che soddisfa$(3)$ è chiamatasoluzione debole. Ancora una volta, è in generale necessario e non banale dimostrare che tale soluzione esiste ed è unica (come nel caso dell'esempio qui).

Ora, poiché anche i derivati ​​classici sono derivati ​​deboli, ogni soluzione classica è anche una soluzione forte. Allo stesso modo, incorporando $H^2(\Omega)\subset H^1(\Omega)$ , ogni soluzione forte è anche una soluzione debole. Le altre direzioni sono più sottili.

• Se $(3)$ ha una soluzione unica, che inoltre soddisfa $u\in H^2(\Omega)$ per$f\in L^2(\Omega)$ (anziché solo$H^{-1}(\Omega)$ ), allora anche la soluzione debole è una soluzione forte (e per$n=2$ anche una soluzione classica poiché in questo caso$H^2(\Omega)$ incorporato in$C(\bar\Omega)$ ). Questa proprietà viene talvolta chiamatala regolarità massima (ellittica) , e vale per l'equazione di Poisson assumendo che il limite $\partial\Omega$ (e i dati limite) sia abbastanza regolare. (È qui che entra in gioco l'assunto di cui sopra.)

• Altrimenti, può succedere anche per $f\in L^2(\Omega)$ che il PDE abbia una soluzione debole ma non una soluzione forte.

• Se la regolarità massima non regge, può anche succedere che la PDE abbia una soluzione forte unica (che è quindi anche una soluzione debole), ma non una soluzione debole unica. Ciò significa che esistono molte soluzioni deboli in, ad esempio, $H^1_0(\Omega)$ , ma solo una delle quali è anche in $H^2(\Omega)$ e quindi una soluzione forte. (Gli esempi reali richiedono spazi più complicati; vedi, ad esempio, Meyer, Christian; Panizzi, Lucia; Schiela, Anton , Criteri di unicità per l'equazione aggiunta nel controllo ottimale ellittico vincolato dallo stato , Numer. Funct. Anal. Optim. 32, No 9, 983-1007 (2011). ZBL1230.35041, o più complicate, equazioni non lineari; vedi, ad esempio, http://www.numdam.org/item/JEDP_2015____A10_0/ .)