osservazioni puntuali vs. continue nel problema inverso della PDE

Lavoro su un problema inverso per il mio dottorato. ricerca, che per semplicità diremo che sta determinando in$\beta$

$L(\beta)u \equiv -\nabla\cdot(k_0e^\beta\nabla u) = f$

da alcune osservazioni ; k 0 è una costante e f è noto. Questo è in genere formulato come un problema di ottimizzazione per l'estremo$u^o$$k_0$$f$

$J[u, \lambda; \beta] = \frac{1}{2}\int_\Omega(u(x) - u^o(x))^2dx + \int_\Omega\lambda(L(\beta)u - f)dx$

dove è un moltiplicatore di Lagrange. La derivata funzionale di J rispetto a β può essere calcolata risolvendo l'equazione aggiunta$\lambda$$J$$\beta$

$L(\beta)\lambda = u - u^o.$

Alcune funzioni funzionali regolarizzanti vengono aggiunte al problema per i soliti motivi.$R[\beta]$

Il presupposto non detto è che i dati osservati sono definiti in modo continuo in tutto il dominio Ω . Penso che potrebbe essere più appropriato per il mio problema utilizzare invece$u^o$$\Omega$

$J[u, \lambda; \beta] = \sum_{n = 1}^N\frac{(u(x_n) - u^o(x_n))^2}{2\sigma_n^2} + \int_\Omega\lambda(L(\beta)u - f)dx$

$x_n$$\sigma_n$$n$

Questo mi dà una pausa perché l'equazione aggiunta diventa

$L(\beta)\lambda = \sum_{n = 1}^N\frac{u(x_n) - u^o(x_n)}{\sigma_n^2}\delta(x - x_n)$

$\delta$

Non riesco a trovare alcun confronto tra l'assunzione di misurazioni continue o puntuali in problemi inversi in letteratura, né in relazione al problema specifico su cui sto lavorando o in generale. Spesso le misurazioni puntuali vengono utilizzate senza menzionare i problemi di regolarità incipiente, ad esempio qui . Esistono lavori pubblicati che confrontano le ipotesi di misurazioni continue o puntuali? Dovrei essere preoccupato per le funzioni delta nel caso puntuale?

Le misure di questo campo sono spesso pezzi chiazzati e mancanti; perché interpolare per ottenere un campo continuo di dubbia fedeltà se ciò può essere evitato?

Hai perfettamente ragione: la maggior parte delle volte, l'interpolazione in un campo continuo che copre l'intero dominio non è un'opzione. Pensa ai problemi di previsione del tempo, in cui le misurazioni (fonti puntiformi) sono disponibili solo in posizioni di dominio selezionate. Direi che i dati puntuali sono più la norma che l'eccezione quando si considerano i problemi inversi della "vita reale".

La mia ipotesi migliore è che l'obiettivo funzionale dovrebbe essere definito in termini di approssimazione di elementi finiti a tutti i campi ( discretizza-quindi-ottimizza ), piuttosto che in termini di campi reali e poi discretizzati dopo ( ottimizza-poi-discretizza ).

I due approcci non sono equivalenti (tranne che per problemi molto semplici). Esiste un vasto corpus letterario che confronta i due approcci (ciascuno con i suoi vantaggi e svantaggi). Ti consiglierei la monografia di Max Gunzburger (in particolare la fine del capitolo 2).

Esistono lavori pubblicati che confrontano le ipotesi di misurazioni continue o puntuali? Dovrei essere preoccupato per le funzioni delta nel caso puntuale?

Puoi rappresentare esattamente i termini della tua fonte - vale a dire, il tuo termine della fonte sarà modellato come (approssimazione discreta a a) distribuzione di Dirac [ Arraya et al., 2006 ], oppure puoi approssimare il termine della fonte con una funzione regolarizzata (come è fatto , ad esempio, nel metodo del contorno immerso ). Dai un'occhiata (per cominciare) a questo recente articolo di Hosseini et al. (e riferimenti in esso).

Per espandere la risposta di @ GoHokies: se sei interessato a domande sulla regolarità, puoi anche chiedere quali sono realmente le "misurazioni dei punti". Nella pratica fisica, non puoi misurare nulla in un "punto". Piuttosto, otterrai sempre una sorta di media su una sorta di blocco spazio-temporale: un termometro non è un punto ma un oggetto esteso e ci vuole tempo per adattarsi alla temperatura del mezzo circostante; un dispositivo di misurazione della concentrazione necessita di una dimensione del campione finita; eccetera.

Ciò che ciò significa matematicamente è che le funzioni delta nel tuo funzionale sono, in realtà, medie su aree sufficientemente piccole e / o intervalli di tempo. Di conseguenza, anche i lati di destra nella doppia equazione sono limitati e non sorgono problemi di regolarità.

Ovviamente, in pratica, in genere non sarai in grado di risolvere il piccolo spazio o gli intervalli di tempo su cui misuri con una mesh ad elementi finiti. Cioè, su scale di lunghezza si può risolvere, sul lato destro fa aspetto singolare, e di conseguenza così fa la soluzione. Ma, poiché stai già introducendo un errore di discretizzazione, puoi anche regolarizzare la funzione caratteristica del volume su cui misuri con un'approssimazione discreta con lo stesso peso; se lo fai nel modo giusto, introducerai un errore non più grande dell'errore di discretizzazione, a beneficio di ricevere una funzione del lato destro perfettamente piacevole per l'equazione doppia (discreta).