Esempi illustrativi di metodi di differenza finita mimetica

Per quanto provo a trovare una spiegazione concisa su Internet, non riesco a capire il concetto di una differenza finita mimetica o come si collega anche alle differenze finite standard. Sarebbe davvero utile vedere alcuni semplici esempi di come sono implementati per le PDE lineari classiche (iperboliche, ellittiche e paraboliche).

Non sono sicuro che sia la risposta che volevi, ma visto che nessun altro ha risposto, posso menzionare la cassetta degli attrezzi GPL'd MATLAB Reservoir , che utilizza solutori mimetici per le equazioni di pressione nella simulazione del serbatoio. Vedendo come questa equazione, riduce alla tipica equazione del test ellittico, Δp=0(Poisson) per un rapporto costante di permeabilità / viscosità, probabilmente si può ottenere una certa comprensione dai solutori MRST. MRST supporta griglie completamente non strutturate utilizzando diversi metodi mimetici, dove mimetico qui si riferisce a una mimica del prodotto interno richiesta per impostare equazioni di bilancio di massa. Probabilmente non avrai bisogno di alcuna comprensione delle simulazioni del serbatoio per capirlo.

Un buon esempio per cominciare è descritto qui . Gli esempi inclusi utilizzano la funzionalità di script a blocchi di MATLAB, in cui è possibile utilizzare MAIUSC-INVIO per scorrere i passaggi e ispezionare i dati in ciascun passaggio.

Gli articoli pertinenti sono disponibili qui . Il primo documento passa attraverso la formulazione del prodotto interno mimetico in modo da poter avere una lettura del codice. Se non hai MATLAB o non hai familiarità con la lingua, questo probabilmente non è molto utile, ma penso che anche i semplici esempi dovrebbero essere compatibili con Octave.

Esiste una tesi di master "Confronto tra schemi mimetici e schemi di approssimazione del flusso a due punti su griglie PEBI" che analizza alcuni dettagli e la sezione 7.3 in particolare tratta un piccolo esempio a mano.

$\nabla\cdot$$\nabla$$\nabla\times$ . La SOM fornisce un approccio alla differenziazione spaziale costruendo analoghi discreti degli operatori differenziali sopra menzionati. Gli operatori discreti soddisfano le versioni discrete di importanti identità differenziali e integrali soddisfatte dagli operatori continuum. In sostanza, la SOM costruisce una versione discreta del calcolo dell'operatore differenziale.

La costruzione di un calcolo discreto procede in due fasi. Innanzitutto scegliamo una forma discreta per uno degli operatori fondamentali, chiamato operatore principale . Quindi, sulla base di un sottoinsieme di identità differenziali e integrali che scegliamo di mantenere, costruiamo gli altri operatori fondamentali, definiti operatori derivati . La scelta dell'operatore principale dipende dall'applicazione e dalla discretizzazione. In un certo senso, l'operatore principale "supporta" la costruzione degli operatori derivati. Leggi di conservazione, simmetrie di soluzioni e relazioni adiacenti tra operatori differenziali sono esempi di proprietà che vogliamo che gli operatori discreti imitino.

Ad esempio, una discretizzazione SOM dell'equazione di diffusione lineare che la discretizzazione mimetica imiterebbe

1. Il teorema di Gauss-Green per applicare la legge locale sulla conservazione
2. La relazione aggiuntiva negativa tra gli operatori di flusso e divergenza, $-\textbf{K}\nabla = (\nabla\,\cdot)^{*}$
3. Simmetria e positività garantite del prodotto della divergenza discreta e del flusso discreto
4. Lo spazio nullo dell'operatore di flusso discreto sono le funzioni costanti.

I dettagli completi sulla discretizzazione mimetica dell'equazione di diffusione sono disponibili in 1D o 2D .

Vedi la tesi di Jerome Bonelle che è disponibile sul suo sito web o direttamente qui . Ho trovato i suoi capitoli 2 - 4 di facile lettura e una bella introduzione. Parla anche di due esempi, un PDE ellittico e le equazioni di Stokes.