La matrice

Ho bisogno di calcolare molte inversioni di matrici (per la decomposizione polare di iterazione di Newton), con un numero molto piccolo di casi degeneri ( ). $3\times3$ $<0.1\%$

L'inverso esplicito (tramite matrici minori divise per determinante) sembra funzionare ed è circa 32 ~ 40 flop fusi (a seconda di come computo il reciproco del determinante). Non considerando il fattore di scala det, sono solo 18 flop fusi (ciascuno dei 9 elementi ha la forma ab-cd, 2 flop fusi).

Domanda:

C'è un modo per calcolare l'inverso di usando meno di 18 (con scala arbitraria) o 32 (con scala adeguata, considerando le reciproche 1 op) flop fusi? $3\times 3$
C'è un modo economico (usando ~ 50 f-flop) per calcolare un inverso sinistro stabile all'indietro di una matrice ? $3\times 3$

Sto usando float a precisione singola (gioco iOS). La stabilità all'indietro è un nuovo concetto interessante per me e voglio sperimentare. Ecco l'articolo che ha provocato il pensiero.

— Sergiy Migdalskiy
fonte

Che dire dell'utilizzo del teorema di Cayley-Hamilton per l'inverso?

— Nicoguaro

Se questo è un collo di bottiglia per te, un altro algoritmo per la decomposizione polare potrebbe essere più veloce in questo caso? Tramite SVD, ad esempio? O accelerare il metodo di Newton come in 3.3 di eprints.ma.man.ac.uk/694/01/covered/MIMS_ep2007_9.pdf ?

— Kirill

Proverò a dare il mio pensiero sulla prima domanda riguardante l' inverso rapido $3\times 3$ . Prendere in considerazione

A = [\begin{array}{ccc} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{array}]

$A=\left[ \begin{array}{ccc} a & d & g\\ b & e & h\\ c & f & i \end{array}\right]$

$1/\det(A)$ $A$ $a,\ldots,i$

A^{- 1} det (A) = adj (A) = [\begin{array}{ccc} e i - f h & d i - f g & g e - d h \\ b i - c h & a i - c g & a h - b g \\ c e - b f & a f - c d & a e - b d \end{array}]

$A^{-1}\det(A)=\text{adj}(A)= \left[\begin{array}{ccc} ei-fh & di-fg & ge-dh\\ bi-ch & ai-cg & ah-bg\\ ce-bf & af-cd & ae-bd \end{array}\right]$

adj (A)

$\text{adj}(A)$

Tuttavia, alcuni calcoli possono essere riutilizzati per il calcolo di . Se lo espanderò sulla prima colonna (ci sono altre 5 scelte): Nota che (* ) è già stato calcolato durante la valutazione di . Quindi, il reciproco del determinante può essere calcolato in 4 flop fusi aggiuntivi (se reciproco è considerato come 1 flop). $\det(A)$

\begin{aligned} det (A) & = a (e i - f h) + b (f g - d i) + c (d h - g e) \\ = a \underset{*}{\underset{⏟}{(e i - f h)}} - b \underset{*}{\underset{⏟}{(d i - f g)}} - c \underset{*}{\underset{⏟}{(g e - d h)}} \end{aligned}

$\begin{aligned} \det(A)&=a(ei-fh)+b(fg-di)+c(dh-ge)\\ &=a\underbrace{(ei-fh)}_*-b\underbrace{(di-fg)}_*-c\underbrace{(ge-dh)}_* \end{aligned}$

adj (A)

$\text{adj}(A)$

1 / det (A)

$1/\det(A)$

Ora, ogni 9 elementi di dovrebbero essere ridimensionati dal reciproco già ottenuto del determinante, aggiungendo altri 9 flop fusi. $\text{adj}(A)$

Così,

Calcola in 18 flop fusi $\text{adj}(A)$
Calcola in 3 flop fusi usando le voci di già calcolato $\det(A)$ $\text{adj}(A)$
Trova (presupponendo 1 flop). $\frac{1}{\det(A)}$
Scala ogni elemento di già calcolato di in altri 9 flop fusi. $\text{adj}(A)$ $\frac{1}{\det(A)}$

Il risultato è 18 + 3 + 1 + 9 = 31 flop fusi . Non hai descritto il tuo modo di calcolare il determinante, ma immagino che sia possibile salvare 1 flop aggiuntivo. Oppure può essere usato per eseguire il controllo al punto 3, dove è la tolleranza per il caso degenerato (non invertibile), con conseguente 32 flop fusi (supponendo che sia 1 flop). $|\det(A)|>\epsilon$ $\epsilon$ if

Non penso che ci sia un modo più veloce per calcolare l'inverso di una matrice generale poiché tutti i calcoli rimanenti sono unici. L'uso di Cayley-Hamilton non dovrebbe essere d'aiuto dal punto di vista della velocità, poiché in generale richiederà il calcolo di per una matrice oltre ad altre operazioni. $3\times 3$ $A^2$ $3\times 3$

NB:

questa risposta non riguarda la stabilità numerica
anche il possibile potenziale di vettorializzazione e ottimizzazione del modello di accesso alla memoria non viene discusso

— Anton Menshov
fonte