Usi delle mappe delle serie di potenze

Vengo dal campo della fisica dell'acceleratore, in particolare legato agli anelli di memoria circolariper sorgenti luminose di sincrotrone. Gli elettroni ad alta energia circolano attorno all'anello, guidati da campi magnetici. Gli elettroni circolano miliardi di volte e si vuole prevedere la stabilità. È possibile descrivere il movimento degli elettroni in un punto dell'anello in termini di spazio delle fasi (posizione, spazio del momento). Ad ogni giro attorno all'anello, la particella ritorna in una nuova posizione e momento, e questo definisce una mappa nello spazio delle fasi chiamata "mappa a un giro". Possiamo supporre che ci sia un punto fisso all'origine, e quindi possa essere espanso in una serie di potenze. Pertanto, si desidera conoscere la stabilità delle mappe di serie di potenza iterate. Ci sono molte domande difficili su questo e l'argomento ha una vecchia storia. Sono state implementate numerose librerie per implementare la cosiddetta Algebra della serie Power troncata. (Vedi ad esquesto articolo su Zlib di Y. Yan. Più background sulla fisica e un approccio all'analisi è l'approccio alla forma normale, ad esempio Bazzani et. al. qui .) La domanda è come utilizzare una libreria di questo tipo e come risolvere il problema di stabilità. L'approccio principale utilizzato nella dinamica del fascio è stato l'analisi della forma normale, che non credo abbia avuto successo. Mi chiedo se un qualche tipo di metodi spettrali sono state sviluppate in altri campi (forse lungo le linee di qualcosa come questo?). Qualcuno può pensare a un altro dominio in cui viene analizzata la stabilità a lungo termine delle mappe di serie di potenza iterate con un punto fisso all'origine, in modo da poter condividere le conoscenze o ottenere nuove idee? Un esempio che conosco è il lavoro di Fishman e "Accelerator Mode" nella fisica atomica. Ce ne sono altri? Quali altri sistemi possono essere modellati come un rotore calciato o una mappa di Henon?

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— Boaz
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Penso che potrebbe essere utile approfondire un po 'la tua terminologia. Ad esempio, ho familiarità con tutti i concetti matematici che hai citato, ma non riesco a visualizzare cosa intendi in questo contesto con "una mappa dello spazio delle fasi". Sono sicuro che nel tuo campo specifico ciò non richiede alcuna spiegazione, ma le persone di altre specialità potrebbero rendersi conto che in realtà sanno come aiutarti se fai un po 'di più spiegando cosa intendi.

— Colin K,

Questo è un buon punto in realtà: poiché presumibilmente questo sito riunirà persone provenienti da diverse discipline scientifiche, sarà particolarmente importante definire termini specifici del campo (o almeno link a spiegazioni).

— David Z,

D'accordo, Collin e David. Grazie per i commenti Lo spazio delle fasi è lo spazio momento-posizione. Pensa a una posizione nell'anello e l'elettrone ha una posizione trasversale e un momento (velocità). Dopo aver girato l'anello una volta, avrà una nuova posizione e velocità. Quindi si chiama mappa a un giro. Se fosse lineare, sarebbe come un oscillatore armonico, che traccia un'ellisse nello spazio delle fasi. Nel caso in cui sia circolare, la mappa avrebbe la forma x_1 = cos (theta) x_0 + sin (theta) p_0 e p_1 = -sin (theta) x_0 + cos (theta) p_0. Ciò chiarisce?

— Boaz,

Ho aggiunto alcuni riferimenti alla letteratura in fisica e calcolo dei raggi e ho aggiunto una breve definizione di spazio delle fasi.

— Boaz,

Per inciso, ho fatto una domanda simile su Stack Exchange, Matematica, qui . Lì stavo chiedendo soluzioni alla domanda di stabilità da un punto di vista matematico. Qui, mi chiedevo se lo stesso problema esiste in altre materie scientifiche, dal momento che sembra in qualche modo generale, ma non è stato collegato a molto al di fuori della dinamica del fascio. Un'area che conosco sono le modalità di accelerazione nella fisica atomica. Ce ne sono altri?

— Boaz,

Risposte:

Probabilmente lo sai già, ma sembra qualcosa del mondo della teoria del caos e dei frattali? (quindi è computazionalmente "difficile")

Alla tua domanda, hai guardato al mondo della meccanica planetaria e ai problemi del N-corpo? Questi sono anche costretti a usare soluzioni iterative e la fisica di base fondamentale è N ^ 2, anche se le fonti di forza sono in genere autorizzate a spostarsi, solo per complicare ulteriormente le cose.

È da molto tempo che non le guardo, ma la tua menzione di mappe di fase di stabilità somiglia molto a Henon Maps. Sono sicuro che queste devono avere applicazioni più ampie, ma di solito sono descritte in termini di stabilità planetaria (ad es. La stabilità di una seconda luna in un sistema pianeta-luna).

— Winwaed
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Sì, la mappa di Henon è esattamente il tipo di cosa che abbiamo nella dinamica del raggio dell'acceleratore. Il problema con l'analogia con il problema del N-body è che lo spazio è molto più grande lì. Lo "spazio delle fasi" è dimensionale 6xN, mentre per la singola particella in un anello di memoria è solo 6 dimensionale nel caso generale. Sono curioso di sapere quali altri domini finiscono con qualcosa come una mappa di Henon per modellare la dinamica. Lungo il percorso della teoria del caos, ho pensato di esaminare anche la teoria della dinamica della popolazione. Grazie per la risposta.

— Boaz,

Potresti esaminare il comportamento asintotico dei sistemi dinamici discreti . Esiste sia una ricca letteratura teorica su questo argomento in matematica sia una letteratura più applicata in fisica e informatica.

— MRocklin
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Grazie Mrocklin. Ho guardato un po 'la letteratura generale e non ho trovato una soluzione, o forse era troppo matematica, e non ho trovato lo stesso problema posto in un modo in cui potevo capirlo.

— Boaz,

Ecco alcune domande da questo campo: (1) Formi orbite, ovvero dopo diverse iterazioni torni nello stesso punto? (2) Il tuo sistema è sensibile alle piccole perturbazioni - cioè se iniziamo uno stato un po 'fuori dal tuo stato iniziale finirà in un posto completamente diverso? (3) Alcuni tipi di perturbazioni agiscono selvaggiamente mentre altri sono addomesticati? Fornire risposte a questo tipo di domande può fornire alcune informazioni sulle proprietà del sistema fisico.

— MRocklin,

(1) Vicino all'origine, la dinamica è stabile e forma orbite chiuse. Andando oltre, a volte si trovano altre isole di stabilità. E poi ancora più lontano, le dinamiche sono instabili, cioè illimitate. (2) Alcuni aspetti sono sensibili e altri no. Le orbite stabili non sono così sensibili a nessun tipo di perturbazione. (3) Le perturbazioni in genere agiscono periodicamente con una certa frequenza. Alcune frequenze provocano risonanze che possono cambiare drasticamente la dinamica anche per piccole perturbazioni. Ma sapere in anticipo quali sono tali frequenze pericolose non è ben compreso.

— Boaz,

Potrebbe essere utile esaminare i metodi del modello di Taylor; questo sembra essere un bell'articolo di sintesi. Prova se COZY infinity può fare quello che vuoi.

— Erik P.
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Grazie Erik. Sì, ho una certa familiarità con l'infinito COSY. L'articolo a cui ti colleghi sembra utile per una panoramica dei metodi di utilizzo delle serie di potenze per calcolare diverse funzioni e per trovare limiti sugli errori, ecc. La mia domanda riguarda tuttavia quali sistemi (oltre agli anelli di memoria circolari) possono essere modellati dalle serie di potenze e come si risolve per la regione di stabilità. Non penso che i normali metodi di forma possano farlo, per esempio. È stato un tema influente nella dinamica del fascio, ma non vedo che abbia risolto il problema.

— Boaz,