In un sistema in cui l'energia dovrebbe teoricamente essere conservata, la simulazione più accurata conserverà l'energia (oltre a fornire posizioni, velocità e così via precisi). RK4 è più preciso di leapfrog, ma leapfrog conserva energia e RK4 no. Perchè è questo?
Risposte:
TL; DR: dipende dal tipo di precisione di cui hai bisogno.
Il risparmio energetico non equivale automaticamente alla precisione. Supponiamo che tu voglia simulare il sistema solare e stai usando un risolutore che, per fare un esempio estremo, ruota l'intero sistema di un angolo ogni secondo. Queste soluzioni ovviamente conservano energia, ma sono palesemente errate.
D'altra parte, se si desidera prevedere i movimenti celesti per un periodo di tempo sufficientemente breve, gli effetti di un metodo Runge-Kutta che non preserva l'energia sono trascurabili. Piuttosto, questo ha un impatto sulle simulazioni a lungo termine. Su scale di tempo brevi, un metodo Runge – Kutta ti darà risultati più accurati rispetto a leapfrog - almeno per uno sforzo computazionale comparabile.
Ora, su scale temporali lunghe, nessuno dei due metodi produce risultati molto precisi nel senso di prevedere il futuro preciso di una condizione iniziale (che può anche diventare difficile a causa dell'effetto farfalla). Tuttavia, il metodo leapfrog fornisce almeno una soluzione plausibile, poiché l'energia viene preservata. Questo è sufficiente per molte simulazioni in cui il comportamento qualitativo dei sistemi investigati è interessante.