Spettro approssimativo di una matrice di grandi dimensioni

Voglio calcolare lo spettro ( tutti gli autovalori) di una matrice sparsa di grandi dimensioni (centinaia di migliaia di righe). Questo è difficile.

Sono disposto ad accontentarmi di un'approssimazione. Ci sono metodi di approssimazione per fare questo?

Mentre spero in una risposta generale a questa domanda, sarei anche soddisfatto di una risposta nel seguente caso specifico. La mia matrice è un Laplaciano normalizzato di un grafico di grandi dimensioni. Gli autovalori saranno compresi tra 0 e 2, molti dei quali raggruppati attorno a 1.

Se il tuo grafico non è indirizzato (come sospetto), la matrice è simmetrica e non puoi fare nulla di meglio dell'algoritmo di Lanczsos (con reorthogonalization selettivo se necessario per stabilità). Poiché l'intero spettro è composto da 100000 numeri, immagino che tu sia interessato principalmente alla densità spettrale.

Per ottenere una densità spettrale approssimativa, prendi lo spettro del sottospazio Krylov principale di dimensione 100 o giù di lì, e sostituisci la sua densità discreta con una versione levigata.

Lo spettro di Krylov principale avrà quasi autovalori ben isolati (se presenti), si avvicina agli autovalori alla fine dello spettro dei non isolati ed è alquanto casuale nel mezzo, con una distribuzione la cui funzione di distribuzione cumulativa ricorda quella dello spettro reale . Convergerebbe ad esso nell'aritmetica esatta se la dimensione cresce. (Se il tuo operatore fosse di dimensione infinita, questo sarebbe ancora il caso e otterresti l'integrale della vera funzione di densità spettrale sullo spettro continuo.)

La risposta di Arnold Neumaier è discussa più dettagliatamente nella sezione 3.2 del documento "Densità spettrali approssimate di grandi matrici" di Lin Lin, Yousef Saad e Chao Yang (2016) .

Vengono anche discussi alcuni altri metodi, ma l'analisi numerica alla fine dell'articolo mostra che il metodo Lanczos supera queste alternative.

Se stai bene pensando a cose che non sono autovalori ma funzioni che in qualche modo ti dicono ancora qualcosa sullo spettro, allora penso che dovresti dare un'occhiata ad alcuni lavori di Mark Embree alla Rice University.

Ecco ancora un altro modo per caratterizzare lo spettro.

$\mathbf{A} v_k = \lambda_k v_k$$\mathbf{A}$

$$S(\omega) = \sum_k \frac{\pi^{-1}\sigma}{\sigma^2 + (\lambda_k - \omega)^2} = \frac{\sigma}{\pi} \mathop{\mathrm{Tr}} [\sigma^2 + (\omega - \mathbf{A})^2]^{-1}$$ $$S(\omega) = \frac{\sigma}{\pi}\langle z^T [\sigma^2 + (\omega - \mathbf{A})^2]^{-1} z \rangle$$ $z$$+1$$-1$$\sigma$$\omega$$[\sigma^2 + (\omega - \mathbf{A})^2]^{-1} z$$[\omega + i \sigma - \mathbf{A}]^{-1} [\omega - i \sigma - \mathbf{A}]^{-1}$$S(\omega)$

$\omega$

$\omega$

Vedi l'articolo "Sulla decomposizione spettrale approssimativa basata sul campionamento" di Sanjiv Kumar, Mehryar Mohri e Ameet Talwalkar (ICML 2009.). Usa il campionamento delle colonne della tua matrice.

Poiché la matrice è simmetrica, è necessario eseguire le operazioni seguenti:

Lascia che A sia la tua matrice n * n. Si desidera ridurre il calcolo degli autovalori di una matrice n * n al calcolo degli autovalori di una matrice k * k. Per prima cosa scegli il valore di k. Supponiamo che tu scelga k = 500, poiché puoi facilmente calcolare gli autovalori di una matrice 500 * 500. Quindi, scegli casualmente k colonne della matrice A. Contrasta la matrice B che mantiene solo queste colonne e le righe corrispondenti.

B = A (x, x) per un insieme casuale di k indici x

B ora è ak * k matrice. Calcola gli autovalori di B e moltiplicali per (n / k). Ora hai k valori che sono approssimativamente distribuiti come gli autovalori di A. Nota che ottieni solo k valori, non n, ma la loro distribuzione sarà corretta (fino al fatto che sono un'approssimazione).

Puoi sempre usare i limiti del teorema del cerchio di Gershgorin per approssimare gli autovalori.

Se i termini off-diagonali sono piccoli, la diagonale stessa è una buona approssimazione dello spettro. Altrimenti, se si finisce con un'approssimazione dell'eigenspace (con altri metodi) si potrebbe provare ad esprimere le voci diagonali in questo sistema. Ciò porterà a una matrice con termini off-diagonali più piccoli e la nuova diagonale sarà una migliore approssimazione dello spettro.