-convergenza del metodo degli elementi finiti quando il lato destro è solo in

So che l'approssimazione lineare agli elementi finiti a tratti $u_h$ di

$$\Delta u(x)=f(x)\quad\text{in }U\\ u(x)=0\quad\text{on }\partial U$$ $$\|u-u_h\|_{H^1_0(U)}\leq Ch\|f\|_{L^2(U)}$$ $U$$f\in L^2(U)$

Domanda: Se , abbiamo la seguente stima analoga, in cui una derivata viene tolta da entrambi i lati: $f\in H^{-1}(U)\setminus L^2(U)$

$$\|u-u_{h}\|_{L^2(U)}\leq Ch\|f\|_{H^{-1}(U)}\quad?$$

Puoi fornire referenze?

Pensieri: dato che abbiamo ancora , dovrebbe essere possibile ottenere la convergenza in . Intuitivamente, ciò dovrebbe anche essere possibile con funzioni costanti a tratti.$u\in H^1_0(U)$$L^2(U)$

Sì , questo è il trucco standard di Aubin-Nitsche (o dualità ). L'idea è di usare il fatto che è il suo doppio spazio per scrivere -norm come norma dell'operatore Dobbiamo quindi stimare per arbitrario . Per fare ciò, " " a considerando prima per arbitrario la soluzione del doppio problema $L^2$$L^2$(u-uh,ϕ)ϕ∈L2u-uhH 1 0 ϕ∈L2wϕ∈H 1 0 ( ∇ w ϕ , ∇ v ) = ( ϕ , v

$$\|u\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}}.$$ $(u-u_h,\phi)$$\phi\in L^2$$u-u_h$$H^1_0$$\phi\in L^2$$w_\phi\in H^1_0$‖Wϕ‖ H 2 ≤C‖ϕ‖ L 2 $$\label{eq1}\tag{1} (\nabla w_\phi,\nabla v) =(\phi,v) \qquad\text{for all }v\in H^1_0.$$ Usando la regolarità standard dell'equazione di Poisson, sappiamo che $$\|w_\phi\|_{H^2}\leq C \|\phi\|_{L^2}.$$

Inserendo in e usando l'ortogonalità di Galerkin per qualsiasi elemento finito (nel tuo caso, lineare a tratti) la funzione fornisce la stima Dato che questo vale per tutto , la disuguaglianza è ancora vera se prendiamo l'influenza su tutto lineare a tratti . Pertanto otteniamo (1) w h ( ϕ , u - u h$v=u-u_h\in H^1_0$$\eqref{eq1}$$w_h$whwh ‖ u - u h ‖ L 2 = sup ϕ ∈ L 2 ∖ { 0 } ( u - u h , ϕ

$$\begin{aligned} (\phi,u-u_h) &= (\nabla w_\phi,\nabla (u-u_h))\\ &= (\nabla w_\phi-\nabla w_h,\nabla (u-u_h))\\ &\leq C \|u-u_h\|_{H^1}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}. \end{aligned}$$ $w_h$$w_h$ $$\label{eq2}\tag{2} \|u-u_h\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u-u_h,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}} \leq C \|u-u_h\|_{H^1} \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{\inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}}{\|\phi\|_{L^2}}.$$ Questo è l' Aubin-Nitsche-Lemma .

Il prossimo passo è ora usare le stime di errore standard per la migliore approssimazione agli elementi finiti delle soluzioni all'equazione di Poisson. Dato che solo in , non otteniamo una stima migliore di Ma per fortuna, possiamo usare il fatto che ha una regolarità più elevata dal lato destro invece di . In questo caso, abbiamo Inserendo e inH 1 ‖ u - u h ‖ H 1 ≤ inf v h ‖ u - v h ‖ H 1 ≤ c ‖ u ‖ H 1 ≤ C ‖ f ‖ H - 1 . w ϕ ϕ ∈ L 2 H - 1 inf w h ‖ w ϕ - w h ‖ H 1$u$$H^1$

$$\label{eq3}\tag{3} \|u-u_h\|_{H^1} \leq \inf_{v_h}\|u-v_h\|_{H^1} \leq c \|u\|_{H^1} \leq C \|f\|_{H^{-1}}.$$ $w_\phi$$\phi\in L^2$$H^{-1}$ (3)(4) $$\label{eq4}\tag{4} \inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1} \leq c h \|w_\phi\|_{H^2} \leq C h \|\phi\|_{L^2}$$ $\eqref{eq3}$$\eqref{eq4}$$\eqref{eq2}$ ora fornisce la stima desiderata.

(Si noti che le stime standard richiedono che il grado polinomiale dell'approssimazione di elementi finiti e l'esponente di Sobolev della soluzione vera soddisfino , quindi questo argomento non funziona per l'approssimazione costante a tratti ( ). Abbiamo anche usato che - ovvero che abbiamo un'approssimazione conforme - che non è vero per le costanti a tratti.)m m < k + 1 k = 0 u - u h ∈ H 1 $k$$m$$m<k+1$$k=0$$u-u_h\in H^1_0$

Dato che hai chiesto un riferimento: puoi trovare un'istruzione (anche per gli spazi negativi di Sobolev invece di ) nel Teorema 5.8.3 (insieme al Teorema 5.4.8) in L $H^{-s}$$L^2$

Susanne C. Brenner e L. Ridgway Scott , MR 2373954 La teoria matematica dei metodi agli elementi finiti , Testi in matematica applicata ISBN: 978-0-387-75933-3.