Adattamento di superfici implicite a set di punti orientati

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Ho una domanda riguardante l'adattamento quadric a un insieme di punti e corrispondenti normali (o equivalentemente, tangenti). L'adattamento di superfici quadric a punti dati è ben esplorato. Alcuni lavori sono i seguenti:

Montaggio diretto vincolato al tipo di superfici quadrate , James Andrews, Carlo H. Sequin Computer-Aided Design & Applications, 10 (a), 2013, bbb-ccc
Adattamento algebrico di superfici quadrate ai dati , I. Al-Subaihi e GA Watson , Università di Dundee

L'adattamento ai contorni proiettivi è anche coperto da alcune opere, come questa .

Da tutti questi lavori, penso che il metodo di Taubin per il montaggio Quadric sia piuttosto popolare:

G. Taubin, "Stima delle curve planari, delle superfici e delle curve spaziali non planari definite da equazioni implicite, con applicazioni alla segmentazione delle immagini dei bordi e delle distanze ", IEEE Trans. PAMI, Vol. 13, 1991, pp1115-1138.

Vorrei riassumere brevemente. Un Quadric può essere scritto in forma algebrica: dove è il vettore del coefficiente e sono le coordinate 3D. Qualsiasi punto trova sulla quadrica se , dove: $Q$

f (c, x) = A x^{2} + B y^{2} + C z^{2} + 2 D x y + 2 E x z + 2 F y z + 2 G x + 2 H y + 2 I z + J

$f(\mathbf{c},\mathbf{x}) = A x^2 + By^2 + Cz^2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Iz + J$

c

$\mathbf{c}$

x

$\mathbf{x}$

x

$\mathbf{x}$

Q

$Q$

x^{T} Q x = 0

$\mathbf{x}^TQ\mathbf{x}=0$

Q = [\begin{matrix} A & D & E & G \\ D & B & F & H \\ E & F & C & I \\ G & H & I & J \end{matrix}]

$Q = \begin{bmatrix} A & D & E & G \\ D & B & F & H \\ E & F & C & I \\ G & H & I & J \\ \end{bmatrix}$

Adattamento algebrico In linea di principio, vorremmo risolvere i parametri che minimizzano la somma delle distanze geometriche quadrate tra i punti e la superficie quadratica. Sfortunatamente, si è scoperto che si tratta di un problema di ottimizzazione non convessa senza soluzioni analitiche note. Invece, un approccio standard è risolvere un adattamento algebrico, ovvero risolvere i parametri $\mathbf{c}$ che minimizzano:

\sum_{i = 1}^{n} f (c, x^{i})^{2} = c^{T} M c

$\sum\limits_{i=1}^{n} f(\mathbf{c},\mathbf{x}^i)^2 = \mathbf{c}^T M \mathbf{c}$ con

M = \sum_{i = 1}^{n} l (x^{i}) l (x^{i})^{T}

$M = \sum\limits_{i=1}^{n} l(\mathbf{x}^i)l(\mathbf{x}^i)^T$ dove

{x^{i}}

$\{\mathbf{x}^i\}$ sono i punti nella nuvola di punti e

l = [x^{2}, y^{2}, z^{2}, x y, x z, y z, x, y, z, 1]^{T}

$l = [x^2, y^2, z^2, xy, xz, yz, x,y,z, 1]^T$

Si noti che tale minimizzazione diretta produrrebbe la banale soluzione con $\mathbf{c}$ all'origine. Questa domanda è stata ampiamente studiata in letteratura. Una soluzione che si è rivelata efficace nella pratica è il metodo di Taubin (citato sopra), che introduce il vincolo:

‖ \nabla_{x} f (c, x^{i}) ‖^{2} = 1

$\| \nabla_x f(\mathbf{c},\mathbf{x}^i) \|^2 = 1$

Questo può essere risolto come segue: Let: dove gli indici indicano i derivati. La soluzione è data dalla decomposizione generalizzata di Eigen, . Il vettore del parametro più adatto è uguale all'autovettore corrispondente al più piccolo autovalore.

N = \sum_{i = 1}^{n} l_{x} (x^{i}) l_{x} (x^{i})^{T} + l_{y} (x^{i}) l_{y} (x^{i})^{T} + l_{z} (x^{i}) l_{z} (x^{i})^{T}

$N = \sum\limits_{i=1}^n l_x(\mathbf{x}^i)l_x(\mathbf{x}^i)^T+ l_y(\mathbf{x}^i)l_y(\mathbf{x}^i)^T + l_z(\mathbf{x}^i)l_z(\mathbf{x}^i)^T$

(M - λ N) c = 0

$(M −\lambda N) \mathbf{c} = 0$

Domanda principale In molte applicazioni, sono disponibili (o calcolate) le normali della nuvola di punti. Le normali del quadric possono anche essere calcolate differenziando e normalizzando la superficie implicita: $\mathbf{N}(x)$

N (x) = \frac{\nabla f (c, x)}{‖ \nabla f (c, x) ‖}

$\mathbf{N}(x) = \frac{\nabla f(\mathbf{c},\mathbf{x})}{\|\nabla f(\mathbf{c},\mathbf{x})\|}$

dove

\nabla f (c, x) = 2 [\begin{matrix} A x + D y + F z + G \\ B y + D x + E z + H \\ C z + E y + F x + I \end{matrix}]

$\nabla f(\mathbf{c},\mathbf{x}) = 2 \begin{bmatrix} Ax + Dy + Fz + G \\ By + Dx + Ez + H \\ Cz + Ey + Fx + I \\ \end{bmatrix}$

Tuttavia, il metodo di Taubin utilizza solo la geometria del punto e non lo spazio tangente. E non sono a conoscenza di molti metodi, che sono adatti per adattare quadriche in modo tale che anche le tangenti della quadrica corrispondano a quelle della nuvola di punti sottostante. Sto cercando potenziali estensioni del metodo sopra o qualsiasi altro per coprire questi derivati del primo ordine.

Ciò che vorrei ottenere è forse indirizzato parzialmente in spazi di dimensioni inferiori, con tipi di superficie (curva) più primitivi. Ad esempio, adattando le linee ai bordi delle immagini, prendendo in considerazione le informazioni sul gradiente, è trattato qui . Il montaggio di piani (un tipo semplice di quadric) su nuvole 3D è molto comune ( collegamento 1 ) oppure sfere o cilindri di adattamento possono essere adattati a set di punti orientati ( collegamento 2 ). Quindi quello che mi chiedo è qualcosa di simile, ma la primitiva adattata è un quadric.

Accolgo con favore anche l'analisi del metodo proposto come:

Qual è il numero minimo di punti orientati richiesti?
Quali sono i casi degeneri?
Si può dire qualcosa sulla robustezza?

Aggiornamento : vorrei presentare una direzione da seguire. Formalmente, ciò che desidero ottenere:

‖ \nabla f - n ‖ = 0

$\| \nabla f - \mathbf{n} \| = 0$ nel punto . Forse potrebbe essere possibile fonderlo con il metodo di Taubin per creare un ulteriore vincolo e ridurre al minimo l'uso dei moltiplicatori di Lagrange?

x

$\mathbf{x}$

— Tolga Birdal
fonte

Molti degli elementi di Q non sono posizionati male in Q?

— Museful

Hai ragione, e ora ho risolto questo problema.

— Tolga Birdal,

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Sono stato sorpreso di non aver ricevuto una risposta soddisfacente alla domanda di cui sopra e le mie indagini mi hanno mostrato che questa è davvero un'area inesplorata. Quindi, ho fatto qualche sforzo nello sviluppo di soluzioni a questo problema e ho pubblicato i seguenti manoscritti:

T. Birdal, B. Busam, N. Navab, S. Ilic e P. Sturm. "Un approccio minimalista al rilevamento agnostico di tipo quadrico nelle nuvole di punti." Atti della conferenza IEEE su Computer Vision e Pattern Recognition. 2018. http://openaccess.thecvf.com/content_cvpr_2018/html/Birdal_A_Minimalist_Approach_CVPR_2018_paper.html

T. Birdal, B. Busam, N. Navab, S. Ilic e P. Sturm, "Rilevamento primitivo generico in nuvole di punti che utilizzano adattamenti quadratici minimi romanzi", in Transazioni IEEE sull'analisi dei modelli e sull'intelligenza delle macchine. https://arxiv.org/abs/1901.01255

Toccherò brevemente l'idea principale qui:

Questo approccio è simile al raccordo sfumato-uno ( ). Allineamo il vettore gradiente del quadric con il normale della nuvola di punti $\nabla 1$ $\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)$ $\mathbf{n}_i \in \mathbb{R}^3$ $\nabla 1$

\begin{aligned} \frac{\nabla Q (x_{i})}{‖ \nabla Q (x_{i}) ‖} - n_{i} = 0 or \frac{\nabla Q (x_{i})}{‖ \nabla Q (x_{i}) ‖} \cdot n_{i} = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)}{\|\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)\|} - \mathbf{n}_i\, = \,0\,\quad\text{or}\,\quad \frac{\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)}{\|\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)\|} \,\cdot\, \mathbf{n}_i\, = \,1. \end{align}$

α_{i}

$\alpha_i$

\begin{aligned} \nabla Q (x_{i}) = \nabla v_{i}^{T} q = α_{i} n_{i} \end{aligned}

$\begin{align} \nabla \mathbf{Q}( \mathbf{x}_i) = \nabla \mathbf{v}^T_i \mathbf{q} = \alpha_i \mathbf{n}_i \end{align}$

v = {[\begin{matrix} x^{2} & y^{2} & z^{2} & 2 x y & 2 x z & 2 y z & 2 x & 2 y & 2 z & 1 \end{matrix}]}^{T}

$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} x^2 & y^2 & z^2 & 2xy & 2xz & 2yz & 2x & 2y & 2z & 1 \end{bmatrix}^T$

N

$N$

x_{i}

$\mathbf{x}_i$

n_{i}

$\mathbf{n}_i$

A^{'} q = 0

$\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{q}=\mathbf{0}$

[\begin{matrix} v_{1}^{T} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ v_{2}^{T} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ v_{n}^{T} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ \nabla v_{1}^{T} & - n_{1} & 0_{3} & \dots & 0_{3} \\ \nabla v_{2}^{T} & 0_{3} & - n_{2} & \dots & 0_{3} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \nabla v_{n}^{T} & 0_{3} & 0_{3} & \dots & - n_{n} \end{matrix}] [\begin{matrix} A \\ B \\ ⋮ \\ I \\ J \\ α_{1} \\ α_{2} \\ ⋮ \\ α_{n} \end{matrix}] = 0

$\begin{equation} \begin{bmatrix} \mathbf{v}^T_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \mathbf{v}^T_2 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{v}^T_n & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ {\nabla \mathbf{v}_1^T} & -\mathbf{n}_1 & \mathbf{0}_3 & \cdots & \mathbf{0}_3 \\ {\nabla \mathbf{v}_2^T} & \mathbf{0}_3 & -\mathbf{n}_2 & \cdots & \mathbf{0}_3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {\nabla \mathbf{v}_n^T} & \mathbf{0}_3 & \mathbf{0}_3 & \cdots & -\mathbf{n}_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A \\ B \\ \vdots \\ I \\ J \\ \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{bmatrix} = \mathbf{0} \end{equation}$

\nabla v_{i}^{T} = \nabla v (x_{i})^{T} \in R^{3 \times 10}

${\nabla \mathbf{v}_i^T}= {\nabla \mathbf{v}(\mathbf{x}_i)^T \in \mathbb{R}^{3\times 10}}$

0_{3}

$\mathbf{0}_3$

3 \times 1

$3\times 1$

A^{'}

$\mathbf{A}^\prime$

4 N \times (N + 10)

$4N\times(N+10)$

α = {α_{i}}

$\boldsymbol{\alpha}=\{\alpha_i\}$

$\mathbf{A}^{\prime}$ $\alpha_i=1$ $\alpha_i \gets \bar{\alpha}$ $\mathbf{A}\mathbf{q}=\mathbf{n}$

[\begin{matrix} x_{1}^{2} & y_{1}^{2} & z_{1}^{2} & 2 x_{1} y_{1} & 2 x_{1} z_{1} & 2 y_{1} z_{1} & 2 x_{1} & 2 y_{1} & 2 z_{1} & 1 \\ x_{2}^{2} & y_{2}^{2} & z_{2}^{2} & 2 x_{2} y_{2} & 2 x_{2} z_{2} & 2 y_{2} z_{2} & 2 x_{2} & 2 y_{2} & 2 z_{2} & 1 \\ ⋮ \\ 2 x_{1} & 0 & 0 & 2 y_{1} & 2 z_{1} & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 y_{1} & 0 & 2 x_{1} & 0 & 2 z_{1} & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 z_{1} & 0 & 2 x_{1} & 2 y_{1} & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 2 x_{2} & 0 & 0 & 2 y_{2} & 2 z_{2} & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 y_{2} & 0 & 2 x_{2} & 0 & 2 z_{2} & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 z_{2} & 0 & 2 x_{2} & 2 y_{2} & 0 & 0 & 2 & 0 \\ ⋮ \end{matrix}] [\begin{matrix} A \\ B \\ C \\ D \\ E \\ F \\ G \\ H \\ I \\ J \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \dots \\ n_{x}^{1} \\ n_{y}^{1} \\ n_{z}^{1} \\ n_{x}^{2} \\ n_{y}^{2} \\ n_{z}^{2} \\ \dots \end{matrix}]

$\small \begin{bmatrix} x_1^2 & y_1^2 & z_1^2 & 2x_1y_1 & 2x_1z_1 & 2y_1z_1 & 2x_1 & 2y_1 & 2z_1 & 1\\ x_2^2 & y_2^2 & z_2^2 & 2x_2y_2 & 2x_2z_2 & 2y_2z_2 & 2x_2 & 2y_2 & 2z_2 & 1\\ &&&& \vdots &&&&&\\ 2x_1 & 0 & 0 & 2y_1 & 2z_1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2y_1 & 0 & 2x_1 & 0 & 2z_1 & 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2z_1 & 0 & 2x_1 & 2y_1 & 0 & 0 & 2 & 0\\ 2x_2 & 0 & 0 & 2y_2 & 2z_2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2y_2 & 0 & 2x_2 & 0 & 2z_2 & 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2z_2 & 0 & 2x_2 & 2y_2 & 0 & 0 & 2 & 0\\ &&&& \vdots &&&&& \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A \\ B \\ C \\ D \\ E \\ F \\ G \\ H \\ I \\ J \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dots \\ {n}^1_x \\ {n}^1_y \\ {n}^1_z \\ {n}^2_x \\ {n}^2_y \\ {n}^2_z \\ \dots \end{bmatrix}$

$\mathbf{A}$

— Tolga Birdal
fonte

Questo è fantastico! Come si modifica A per ponderare i contributi relativi di punti e normali in modo diverso?

— Museful

n

$\mathbf{n}$

Grazie. Il simbolo di trasposizione non dovrebbe essere rimosso da q e n nell'ultima equazione?

— Museful

Grazie ancora. Rimossi.

— Tolga Birdal,

1

Conosco un esempio in cui le normali sono state incluse nella procedura di adattamento. Tuttavia, non è un raccordo quadric diretto. Una patch parametrizzata localmente è montata sui punti e sulle normali. L'uso delle normali fornisce più equazioni nel problema di adattamento, consentendo l'utilizzo di polinomi di ordine superiore.

Un nuovo algoritmo di ordine cubico per approssimare i vettori della direzione principale

— Abhilash Reddy M
fonte

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Interpolazione dell'ermite di superfici implicite con funzioni di base radiale

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Impliciti delle funzioni di base radiale dell'ermite

— LHF
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