Esempi di calcoli PDE che utilizzano il parallelismo sia nello spazio che nel tempo

Nella soluzione numerica del PDE iniziale al valore limite, è molto comune impiegare il parallelismo nello spazio . È molto meno comune impiegare una qualche forma di parallelismo nella discretizzazione temporale e che il parallelismo è di solito molto più limitato. Sono a conoscenza di un numero crescente di codici e lavori pubblicati che dimostrano il parallelismo temporale, ma nessuno di questi include il parallelismo spaziale.

Esistono esempi di implementazioni che includono il parallelismo sia nello spazio che nel tempo? Sono interessato sia alle pubblicazioni che ai codici disponibili.

Gli algoritmi PFASST (Parallel Full Approximation Scheme in Space and Time) e PEPC (Pretty Efficient Parallel Coulomb) sono stati recentemente usati insieme per ottenere parallelismo sia nello spazio che nel tempo.

PFASST fa il parallelismo temporale, PEPC fa il parallelismo spaziale. I risultati sono stati recentemente presentati alla conferenza DD21 e abbiamo preparato una presentazione per SC12 che descrive la combinazione di PFASST + PEPC.

È stato mostrato che un "piccolo" problema costituito da 4 milioni di particelle (PEPC è un risolutore di corpi N parallelo) si è ridimensionato fino a 8192 core su JUGENE usando solo PEPC (cioè solo parallelo nello spazio). Oltre a ciò, i costi di comunicazione sono diventati significativi e l'efficienza parallela ha iniziato a ridursi. L'aggiunta di PFASST consente di eseguire questo problema di dimensioni fisse su 262.144 core (ovvero, abbiamo riempito JUGENE) utilizzando 32 processori "time" (ognuno dei quali consiste di 8192 core "spaziali").

Sebbene l'efficienza parallela degli algoritmi time-parallel non sia del 100%, siamo stati in grado di ottenere accelerazioni di circa 6,5x utilizzando 32 processori PFASST con questa configurazione PFASST + PEPC.

Ecco un collegamento a una prestampa: un risolutore di N-body parallelo spazio-tempo enormemente

Esistono anche DG spazio-tempo e metodi Galerkin continui. Dopo aver scelto la quadratura, il DG spazio-tempo con una griglia strutturata nella direzione del tempo equivale a un metodo implicito di Runge-Kutta. Il metodo DG spazio-tempo, tuttavia, consente diverse dimensioni di gradino in diverse parti del dominio, un caso che è difficile da analizzare per i metodi RK impliciti. In questo contesto possono essere applicati anche metodi multigrid spazio-temporale.

Dopo aver considerato il parallelo spazio-tempo, il sottodominio è spazio-tempo su più livelli temporali. Un metodo chiamato rilassamento della forma d'onda sfrutta i sottodomini spazio-tempo ma parallelizza solo nello spazio (nessuna partizione nella dimensione temporale). Quindi un cartesiano della partizione spaziale e della partizione temporale dà una sorta di parallelismo spazio-temporale. Puoi trovare un documento su tale metodo cartesiano qui . Come menzionato da Jed Brown nella sua risposta, il metodo spazio-temporale non solo fornisce un parallelismo più flessibile, ma anche adattamento alla discretizzazione. Su quest'ultimo argomento, puoi google works di Schwab, vedi anche il loro progetto . Per il lavoro che sfrutta sia il parallelismo che l'adattabilità, puoi guardare sulla homepage di R. Haynes .

Dai un'occhiata all'algoritmo Parareal e al suo lavoro correlato come correzione spettrale differita (una semplice ricerca su Google rivela un sacco di materiale). L'idea di base è quella di utilizzare una "mesh" grossolana nel tempo e fare un passo indietro nel tempo, ma poi ripassare su di essa ed eseguire correzioni su una scala temporale più fine. Sembra essere utilizzato principalmente nelle simulazioni di fluidi, ma sono nell'area dell'elettromagnetismo, quindi non posso davvero dire molto di più al riguardo. L'unica ragione che conosco è perché ho partecipato a un seminario sull'approccio di correzione differita e mi è sembrato molto interessante che qualsiasi tipo di parallelizzazione potesse essere fatto in tempo.

Il metodo di scatto multiplo utilizzato nel controllo ottimale è progettato in modo tale che i sotto-problemi di ciascun intervallo di scatto possano essere risolti in parallelo. Non conosco documenti che associno questo al parallelismo spaziale (non ci sono molti problemi di controllo ottimale che sono stati risolti in passato in cui l'equazione è un PDE spaziale dipendente dal tempo) ma sarebbe ovvio come fare il parallelismo in sia spazio che tempo.