Autovettori di una piccola regolazione della norma

Ho un set di dati che sta lentamente cambiando e devo tenere traccia degli autovettori / autovalori della sua matrice di covarianza.

Ho usato scipy.linalg.eigh, ma è troppo costoso e non usa il fatto che ho già una decomposizione che è solo leggermente errata.

Qualcuno può suggerire un approccio migliore per affrontare questo problema?

$A(t)$$A(t + \delta t)$

Un metodo di tracciamento del sottospazio è apparentemente più utile (3) . Un estratto da (4) :

Il calcolo iterativo di una coppia di autoveni estrema (massima o minima) (autovalore e autovettore) può risalire al 1966 [72]. Nel 1980 Thompson propose un algoritmo adattivo di tipo LMS per la stima dell'autovettore, che corrisponde al più piccolo autovalore della matrice di covarianza del campione, e fornì l'algoritmo di tracciamento adattivo dell'angolo / frequenza che combina con lo stimatore armonico di Pisarenko [14]. Sarkar et al. [73] ha usato l'algoritmo del gradiente coniugato per tracciare la variazione dell'autovettore estremo che corrisponde al più piccolo autovalore della matrice di covarianza del segnale che cambia lentamente e ha dimostrato la sua convergenza molto più veloce dell'algoritmo di tipo LMS di Thompson. Questi metodi sono stati utilizzati solo per tracciare un singolo valore estremo e autovettore con un'applicazione limitata, ma in seguito furono estesi per i metodi di tracciamento e aggiornamento di eigen-subspace. Nel 1990, Comon e Golub [6] hanno proposto il metodo Lanczos per tracciare il valore singolare estremo e il vettore singolare, che è un metodo comune progettato originariamente per determinare alcuni problemi di autovere simmetrici grandi e radi$Ax = kx$

[6]: Comon, P., & Golub, GH (1990). Tracciamento di alcuni valori singolari estremi e vettori nell'elaborazione del segnale. In elaborazione dell'IEEE (pagg. 1327-1343).

[14]: Thompson, PA (1980). Una tecnica di analisi spettrale adattiva per frequenza imparziale

[72]: Bradbury, WW e Fletcher, R. (1966). Nuovi metodi iterativi per soluzioni di autov Problema. Matematica numerica, 9 (9), 259–266.

[73]: Sarkar, TK, Dianat, SA, Chen, H., & Brule, JD (1986). Stima spettrale adattiva mediante il metodo del gradiente coniugato. Transazioni IEEE su elaborazione acustica, vocale e del segnale, 34 (2), 272–284.

[74]: Golub, GH e Van Load, CF (1989). Calcolo di matrici (2a ed.). Baltimora: la John Hopkins University Press.

Dovrei anche menzionare che le soluzioni alle matrici simmetriche, come ciò che devi risolvere dato il tuo uso scipy.linalg.eigh, sono in qualche modo economiche. Se sei interessato solo ad alcuni autovalori, potresti trovare miglioramenti della velocità anche nel tuo metodo. Il metodo Arnoldi viene spesso utilizzato in tali situazioni.

$t^0$$\mathcal{O}(N^3)$$\mathcal{O}(k N^2)$$N$$k$

Ecco un paio di riferimenti rilevanti:

Eigendecomposizione adattiva delle matrici di covarianza dei dati basata su perturbazioni del primo ordine (Champagne, IEEE TSP 42 (10) 1994)

Aggiornamento ricorsivo della decomposizione degli autovalori di una matrice di covarianza (Yu, IEEE TSP, 39 (5) 1991)

Analisi dei componenti principali online in alta dimensione: quale algoritmo scegliere? (Cardot e Degras)

Un algoritmo stabile e veloce per l'aggiornamento della scomposizione del valore singolare (Gu e Eisenstadt, 1994)