Metriche comunemente utilizzate per quantificare l'irregolarità di una maglia triangolare

Supponi di avere una maglia triangolare su un piano piatto. Questo è stato disegnato per risolvere eventualmente qualche problema in meccanica, per esempio.

Una maglia di triangoli equilateri è la migliore in quanto le distanze tra i vertici e tra i centroidi sono le stesse dappertutto. Ciò rende le interpolazioni e il calcolo dei gradienti un compito facile e preciso. Tuttavia, a causa di vincoli e circostanze, non è sempre possibile lavorare su una maglia di tutti i triangoli equilateri.

Quindi, le domande riguardano una rete di elementi triangolari di forma arbitraria.

Per quanto riguarda i singoli elementi mesh . Quali metriche sono comunemente usate per quantificare la dissomiglianza di un triangolo generico da una forma equilatera ideale sottostante?

Per quanto riguarda l'intera maglia . Quali metriche vengono utilizzate per quantificare l'irregolarità di una maglia di triangoli arbitrari nel suo complesso? Queste metriche dovrebbero indicare quanto è confusa la mesh.

Grazie per aver pensato.

Nota Tutti i contributi della comunità degli elementi finiti sono stati molto apprezzati. Per questa domanda, tieni presente che l'interesse è quantificare le differenze puramente nella geometria (triangoli arbitrari vs equilateri). I successivi effetti sugli errori di interpolazione e condizionamento sono al di fuori dell'ambito. Ammesso che questi possano essere penetranti e pertinenti, complicano la gestione matematica.

Come hanno detto @Nicoguaro e @Paul nei commenti al post delle domande, ci sono molti modi per fare questo tipo di cose, e non sono sicuro che esista un singolo approccio "migliore".

Da uno studio di revisione di Jonathan Richard Shewchuck a Berkley, una risposta è:

Fare riferimento al documento originale (versione 31/12/2002) per simbologia, terminologia, funzioni speciali e possibilmente altro (ad es. Tetraedri). Il capitolo 6 riguarda le misure di qualità. Il documento collegato è la versione estesa e nella pagina web del JRS ce n'è anche una versione ridotta.

Personalmente, sono un fan della metrica "volume-lunghezza". È un buon indicatore scalare della qualità simplex (isotropica) ed è economico da calcolare. In due dimensioni:

$a = \frac{4\sqrt{3}}{3}\frac{A}{\|\mathbf{e}_{\mathrm{rms}}\|^{_2}}$

dove è l'area firmata del triangolo eè la lunghezza del bordo quadrata radice-media. Gli elementi ideali raggiungono , che diminuisce verso lo zero con una maggiore distorsione. Gli elementi invertiti con orientamento invertito hanno .‖ e r m s ‖ a = 1 a < $A$$\|\mathbf{e}_{\mathrm{rms}}\|$$a=1$$a < 0$

Per valutare la qualità di una triangolazione non strutturata è tipico esaminare gli istogrammi di tali parametri di qualità degli elementi. Ci sono molte implementazioni di queste cose là fuori, ma una MATLABmia semplice base di codice è qui .

Oltre ai punteggi di lunghezza del volume, per impostazione predefinita vengono calcolati anche gli istogrammi degli angoli degli elementi e il grado di vertice.

Non penso che esista una risposta a questa domanda in generale , perché tutto dipende dall'uso previsto per la mesh. Ad esempio, se si sta eseguendo la fluidodinamica computazionale, è possibile che si desideri disporre di una mesh estremamente anisotropica vicino allo strato limite. Ora, se stai facendo elettromagnetismo computazionale, la mesh migliore sarà probabilmente completamente diversa.

Esistono in letteratura molte definizioni diverse per un criterio di "qualità delle maglie". La maggior parte favorirà le maglie con triangoli il più equilatri possibili. Si può anche menzionare l'idea di massimizzare l'angolo più piccolo (che è realizzato dalla triangolazione di Delaunay per un insieme fisso di punti). È giustificato dall'analisi di Jonathan Shewchuk menzionata in uno dei commenti, che mette in relazione questo angolo con il numero di condizione della matrice di rigidezza per l'equazione di Laplace discretizzata con elementi P1, ma ancora, a seconda dell'uso previsto, la buona mesh di qualcuno può essere qualcuno maglia scarsa dell'altro.

Non penso che abbia senso "quantificare le differenze puramente nella geometria (triangoli arbitrari vs equilateri)": prima di misurare se i triangoli sono equilateri e decidere quale "deviazione rispetto all'equilateralità" è la migliore, è necessario capire se "triangoli equilateri" è ciò che vogliamo, e non è sempre così! Tutto deriva dall'interpolazione e dal condizionamento che lei menziona. Sì, come hai detto "complica la gestione matematica" ma senza di essa, non è possibile fare la differenza tra criteri oggettivi per una determinata applicazione e criteri che non hanno alcun senso.