Argomento facilmente comprensibile che i normali metodi Runge – Kutta non possono essere generalizzati agli SDE?

Un approccio ingenuo per risolvere equazioni differenziali stocastiche (SDE) sarebbe:

prendere un normale metodo Runge – Kutta in più passaggi,
utilizzare una discretizzazione sufficientemente fine del processo di Wiener sottostante,
rendere ogni passo del metodo Runge-Kutta analogo a un Euler-Maruyama.

Ora, questo fallisce su più livelli e capisco perché. Tuttavia, ora ho il compito di convincere le persone di questo fatto che hanno una scarsa conoscenza dei metodi di Runge-Kutta e delle equazioni differenziali stocastiche per cominciare. Tutti gli argomenti di cui sono a conoscenza non sono nulla che io possa comunicare bene in un determinato contesto. Quindi, sto cercando un argomento facilmente comprensibile che l'approccio di cui sopra è condannato.

runge-kutta education stochastic-ode

— Wrzlprmft
fonte

@BiswajitBanerjee: ne sono consapevole e in realtà non pretendo di averlo compreso nella misura più profonda possibile. Tuttavia non penso che fornire tutti gli argomenti qui migliorerà la risposta in quanto coloro che sono in grado di fornire una risposta ne sono consapevoli. Inoltre, questo caso è in qualche modo speciale in quanto si tratta di spiegare perché qualcosa non funziona, per il quale ci sono naturalmente molte risposte, a partire da "l'abbiamo testato e non è riuscito".

— Wrzlprmft,

Non stavo parlando di esperti su ODE stocastici ma del lettore medio che capisce variabili casuali e RK quando ho detto "noi". Tuttavia, non ti darò fastidio se non vuoi fornire un esempio del tuo pensiero.

— Biswajit Banerjee,

Prendiamo un'equazione differenziale stocastica:

X_{t} = f (t, X_{t}) d t + g (t, X_{t}) d W_{t}

$X_t = f(t,X_t)dt + g(t,X_t)dW_t$

Ecco alcuni argomenti diversi che portano a una comprensione intuitiva del perché la matematica dietro i metodi di ordine superiore è necessaria. Discuterò in termini di ordine forte, che equivale a dire "per un dato moto browniano , in che modo l'integrale numerico risolve quella traiettoria?" $W(t)$

Regolarità dell'equazione

Innanzitutto, il metodo proposto non tiene conto del fatto che non è continuamente differenziabile. In realtà, puoi usare i risultati di Rossler per dimostrare che l'estensione dei normali metodi RK come hai suggerito comporterà metodi convergenti, ma avranno solo un forte ordine 0,5. Il motivo è perché sono stati derivati usando il calcolo con essendo differenziabili e con una serie di Taylor. Il moto browniano non è differenziabile e ha invece una continuità del supporto di come $X_t$ $X_t$ $\alpha < 0.5$

Tuttavia, come nella teoria delle perturbazioni, i processi che non sono abbastanza regolari non sono espandibili in termini di una serie di Taylor, ma con la regolarità di Holder possono essere espansi in termini di una serie di Puiseux con termini di , cioè per il moto browniano esiste un estensione alla nozione di serie di Taylor che si espande in termini di qualcosa come $\alpha$ $\alpha$ derivati. Come nel calcolo normale, il primo termine è il "termine lineare", ovvero cambiaineine ottieni qualcosa di giusto. Ecco perché i metodi, tra cui cose come Euler-Maruyama, convergono con un forte ordine 0,5: ottengono il primo termine corretto nella serie Taylor. Tuttavia, i termini di ordine superiore devono avere le correzioni per il fatto chenon è continuamente differenziabile, motivo per cui i metodi normali non riescono a farlo. $\frac{1}{2}$ $dt$ $\Delta t$ $dW_t$ $N(0,dt)$ $X_t$

Correlazioni istantanee e integrali iterati

Questa è una rapida spiegazione euristica, ma c'è qualcosa in più. Diamo un'occhiata ad alcuni altri dettagli. Una serie di Taylor non è solo l'espansione in termini di derivati, ma può anche essere considerata come il numero di termini di ordine superiore da integrare. si integra una volta. Ma se aggiungi il termine , per ottenere le unità giuste devi fare doppi integrali. è facile da integrare due volte, ma cos'è $X_t = X_0 + \Delta t f(t,X_t)$ $dt^2$ $dt^2$ $dW_t^i dW_t^j$ ? Queste sono le correlazioni istantanee tra i moti browniani. Devi sapere questo per calcolare il doppio integrale. Se stai solo guardando le medie, puoi eliminarlo. Ma in ogni traiettoria ci sono correlazioni tra i diversi moti browniani di un sistema di equazioni differenziali. Supponendo che non vi siano correlazioni tra i moti browniani è un altro modo di caratterizzare l'estensione dei metodi deterministici di Maruyama, ma per ottenere il termine successivo nella serie (il termine 1.0) è necessario farlo correttamente. La correzione di Milstein aggiunge precisamente questi termini di correlazione. Quando il rumore è diagonale, questo equivale a capire che non esiste alcuna correlazione se non con se stesso, ma la correlazione con il proprio sé è solo la varianza che è $dt$ , e quindi deve esserci una correzione di vs , cioè . Quando c'è rumore non diagonale, questi doppi integrali devono essere approssimati in modo tale che le correlazioni istantanee dei moti browniani siano prese in considerazione, e l'approssimazione comune qui è l'approssimazione di Wiktorsson che è ciò che rende così complicate le simulazioni del rumore non diagonale (poiché non esiste una soluzione analitica nemmeno per i doppi integrali). $dW_t^2$ $dt$ $dW^2 - dt$

Effetto medio di diffusione

$\mathcal{O}(\Delta t)$ $g$

$g$ $g$ $X_t$ $dW_t$ $dW_t$ $\sqrt{\Delta t}$ $g(t,X_t)$

\frac{g (t + Δ t, X_{t + Δ t}) - g (t, X_{t})}{\sqrt{Δ t}}

$\frac{g(t+\Delta t,X_{t+\Delta t}) - g(t,X_t)}{\sqrt{\Delta t}}$

$X_{t + \Delta t} = X_t + g(t,X_t)\sqrt{\Delta t}$

$g$ $X_t$ $g(t,X_t)\sqrt{\Delta t}$ $c_i$ $X_{t + c_i\Delta t}$ $g(t,X_t)\sqrt{c_i \Delta t}$ $g(t,X_t)\sqrt{\Delta t}$

Conclusione

$\mathcal{O}(\Delta t)$ $\mathcal{O}(\sqrt{\Delta t})$

Certo, in alcune circostanze ci sono modi per trovare generalizzazioni appropriate che danno metodi di ordine superiore, ma lo lascerò come un filo penzolante perché questo è un punto di un documento che presenterò presto. Spero che sia di aiuto.

— Chris Rackauckas
fonte