Quali sono i criteri da scegliere tra differenze finite ed elementi finiti

46

Sono abituato a pensare alle differenze finite come a un caso speciale di elementi finiti, su una griglia molto limitata. Quindi quali sono le condizioni su come scegliere tra il metodo delle differenze finite (FDM) e il metodo degli elementi finiti (FEM) come metodo numerico?

A parte il metodo delle differenze finite (FDM), si può contare sul fatto che sono concettualmente più semplici e più facili da implementare rispetto al metodo agli elementi finiti (FEM). Le FEM hanno il vantaggio di essere molto flessibili, ad esempio le griglie possono essere molto non uniformi e i domini possono avere una forma arbitraria.

L'unico esempio che conosco in cui FDM si è rivelato superiore a FEM è in Celia, Bouloutas, Zarba , dove il vantaggio è dovuto al metodo FD che utilizza una diversa discretizzazione della derivata del tempo, che, tuttavia, potrebbe essere risolta per il metodo degli elementi finiti .

pde finite-element

— shuhalo
fonte

44

È possibile scrivere metodi di differenza finita più specifici come metodi di elementi finiti di Petrov-Galerkin con una certa scelta di ricostruzione e quadratura locali, e la maggior parte dei metodi di elementi finiti può anche essere dimostrata algebricamente equivalente a un metodo di differenza finita. Pertanto, dovremmo scegliere un metodo basato su quale framework di analisi vogliamo usare, quale terminologia ci piace, quale sistema di estensibilità ci piace e come vorremmo strutturare il software. Le seguenti generalizzazioni sono valide nella stragrande maggioranza delle variazioni nell'uso pratico, ma molti punti possono essere elusi.

Differenza finita

Professionisti

implementazione efficiente senza quadrature
indipendenza delle proporzioni e conservazione locale per determinati schemi (ad esempio MAC per flusso incomprimibile)
solidi metodi di trasporto non lineari (ad es. ENO / WENO)
Matrice M per alcuni problemi
principio massimo discreto per alcuni problemi (ad esempio differenze finite mimetiche)
matrice di massa diagonale (solitamente identitaria)
il residuo nodale economico consente un efficiente multigrid non lineare (FAS)
i levigatori Vanka a livello cellulare offrono efficienti leviganti senza matrice per un flusso incomprimibile

Contro

più difficile da attuare "fisica"
le griglie sfalsate sono talvolta piuttosto tecniche
superiore al secondo ordine su reti non strutturate è difficile
nessuna ortogonalità di Galerkin, quindi la convergenza potrebbe essere più difficile da dimostrare
non un metodo Galerkin, quindi discretizzazione e aggiunte non commutano (rilevanti per l'ottimizzazione e i problemi inversi)
problemi di continuum autoaggiunti spesso producono matrici non simmetriche
la soluzione è definita solo in modo puntuale, quindi la ricostruzione in posizioni arbitrarie non è definita in modo univoco
le condizioni al contorno tendono ad essere complicate da implementare
i coefficienti discontinui di solito rendono i metodi di primo ordine
lo stencil cresce se la fisica include "termini incrociati"

Elemento finito

Professionisti

Ortogonalità di Galerkin (la soluzione discreta ai problemi coercitivi è all'interno di una costante della migliore soluzione nello spazio)
semplice flessibilità geometrica
Galerkin discontinuo offre un robusto algoritmo di trasporto, un ordine arbitrario su reti non strutturate
disuguaglianza entropia cellulare per garantire stabilità è indipendente da mesh, dimensioni, ordine di precisione e presenza di soluzioni discontinue, senza bisogno di limitatori non lineari $L^2$
facile implementazione delle condizioni al contorno
può scegliere la dichiarazione di conservazione scegliendo lo spazio di prova
discretizzazione e commuti pendolari (per i metodi Galerkin)
base elegante nell'analisi funzionale
in ordine elevato, i kernel locali possono sfruttare la struttura del prodotto tensore mancante con FD
La quadratura di Lobatto può rendere i metodi a risparmio energetico (supponendo un integratore temporale semplicistico)
elevata precisione dell'ordine anche con coefficienti discontinui, purché sia possibile allinearsi ai confini
coefficienti discontinui all'interno degli elementi possono essere adattati con XFEM
facile da gestire più condizioni inf-sup

Contro

molti elementi presentano problemi con proporzioni elevate
la FEM continua ha problemi con il trasporto (SUPG è diffusivo e oscillatorio)
DG di solito ha più gradi di libertà per la stessa precisione (anche se HDG è molto meglio)
la FEM continua non fornisce problemi nodali a basso costo, quindi gli smoothers non lineari hanno costanti molto più povere
di solito più nonzeros in matrici assemblate
scegliere tra matrice di massa coerente (alcune belle proprietà, ma ha l'inverso totale, quindi richiede una risoluzione implicita per fase temporale) e matrice di massa aggregata.

— Jed Brown
fonte

3

Questa è una buona generalizzazione, sebbene ci siano controesempi per quasi tutti i punti.

— David Ketcheson,

Bene, ho aggiunto un'introduzione a tale effetto.

— Jed Brown l'

3

Non conoscevo l'acronimo HDG. Per chiunque si stia chiedendo questo, sta per "Hybridizable Discontinuous Galerkin".

— Akid

21

Questa domanda potrebbe essere troppo ampia per avere una risposta significativa. La maggior parte delle persone che risponderanno conosceranno solo alcuni sottogruppi di tutti i tipi di discretizzazioni FD e FE che possono essere utilizzate. Si noti che sia FD che FE

può essere implementato su griglie strutturate o non strutturate (vedi questo documento per un solo esempio di un metodo FD su una griglia non strutturata)
può essere esteso a un ordine di precisione arbitrariamente alto (in molti modi!)
può essere usato per discretizzare nello spazio e / o nel tempo , magari in combinazione
utilizzare funzioni di base locali o globali (queste ultime portano a metodi spettrali di tipo FD e FE)
può essere basato su uno spazio di funzioni continuo o discontinuo
può essere spazialmente esplicito o implicito
può essere temporalmente esplicito o implicito

Ti viene l'idea. Naturalmente, in una particolare disciplina, i metodi FD e FE che le persone comunemente implementano e usano possono avere caratteristiche molto diverse. Ma questo di solito non è dovuto a limiti intrinseci dei due approcci di discretizzazione.

Per quanto riguarda gli schemi FD di ordine arbitrariamente alto: i coefficienti degli schemi FD di alto ordine possono essere generati automaticamente per qualsiasi ordine; vedi il libro di LeVeque , per esempio. I metodi di collocazione spettrale, che sono metodi FD, convergeranno più velocemente di qualsiasi potenza della spaziatura mesh; vedi il libro di Trefethen , per esempio.

— David Ketcheson
fonte

Interessante. Hai dei documenti su schemi FD arbitrariamente di ordine elevato? Ho pensato che si debba creare manualmente uno stencil di ordine superiore per ogni ordine.

— Ondřej Čertík,

Ho aggiunto maggiori dettagli sopra per rispondere alla tua domanda.

— David Ketcheson,

10

Vantaggi degli elementi finiti (FE):

metodo variazionale (ad es. le energie diminuiscono sempre con l'aumentare della "p" per l'equazione di Schroedinger, il che non è vero per FD)
accurato per ordini elevati (p = 50 in più)
una volta implementato, è facile fare una convergenza sistematica sia in "p" che in "h" (invece di avere schemi FD speciali per ciascun ordine)

Vantaggi delle differenze finite (FD):

più facile da implementare per ordini inferiori
forse più veloce di FE per una precisione inferiore

A volte le persone dicono "differenze finite" per indicare un integratore per ODE come il metodo Runge-Kutta o Adams. In tal caso, c'è un altro vantaggio di FD:

possibile risolvere direttamente ODE non lineari

mentre FE ha bisogno di qualche iterazione non lineare come il metodo Newton.

— Ondřej Čertík
fonte

10

Diverse belle risposte hanno già affermato che i pro dei metodi agli elementi finiti sono flessibili e potenti, qui darò un altro vantaggio di FEM, dal punto di vista dello spazio di Sobolev e della geometria differenziale, è che la possibilità di spazio agli elementi finiti che eredita la condizione di continuità fisica del Spazi di Sobolev in cui si trova la vera soluzione.

Ad esempio, elemento facciale Raviart-Thomas per elasticità piana e metodo misto per diffusione; Elemento di bordo Nédélec per l'elettromagnetismo computazionale.

Normalmente la soluzione di un PDE, che è una forma differenziale che giace nello spazio "energia integrabile": dove è il derivato esterno e potremmo costruire la coomologia di De Rham attorno a questo spazio , il che significa che potremmo costruire una sequenza esatta di Rham come la seguente nello spazio 3D: $k$ $L^2$

H Λ^{k} = {ω \in Λ^{k} : ω \in L^{2} (Λ^{k}), d ω \in L^{2} (Λ^{k})}

$H\Lambda^k = \{\omega \in \Lambda^k: \omega \in L^2(\Lambda^k), \mathrm{d} \omega \in L^2(\Lambda^k)\}$

d

$\mathrm{d}$

R^{3} \overset{i d}{\to} H (g r a d, Ω) \overset{\nabla}{\to} H (c u r l, Ω) \overset{\nabla \times}{\to} H (d i v, Ω) \overset{\nabla \cdot}{\to} L^{2} (Ω)

$\mathbb{R}^3 \xrightarrow{id}\, H(\mathbf{grad},\Omega) \xrightarrow{\nabla}\, H(\mathbf{curl},\Omega) \xrightarrow{\nabla \times}\,H(\mathrm{div},\Omega) \xrightarrow{\nabla \cdot}\, L^2(\Omega)$

l'intervallo dell'operatore è lo spazio nullo dell'operatore successivo e ci sono molte belle proprietà al riguardo, se potessimo costruire uno spazio ad elementi finiti per ereditare questa sequenza esatta di Rham, allora il metodo Galerkin basato su questo spazio ad elementi finiti lo farà essere stabile e convergere verso la vera soluzione. E potremmo ottenere la proprietà di stabilità e approssimazione dell'operatore di interpolazione semplicemente dal diagramma di commutazione della sequenza de Rham, inoltre potremmo costruire la stima dell'errore a posteriori e la procedura di raffinazione della mesh adattativa basata su questa sequenza.

Per ulteriori informazioni, consultare l'articolo di Douglas Arnold su Acta Numerica: " Calcolo esterno di elementi finiti, tecniche omologiche e applicazioni " e una diapositiva che introduce brevemente l'idea

— Shuhao Cao
fonte

1

Più o meno la stessa cosa può essere raggiunta usando i cosiddetti metodi mimetici FD.

— David Ketcheson,

@DavidKetcheson Ciao, David, buono a sapersi, suppongo che la mia conoscenza di FD non sia stata aggiornata per anni e che ora mi sembri un po 'antichità.

— Shuhao Cao,

7

È importante distinguere tra schemi spaziali e temporali.

Gli elementi finiti usano spesso differenze finite per integrare termini temporali (ad esempio Eulero esplicito, implicito, Crank-Nicholson o Runga Kutta per diffusione transitoria) ed elementi finiti per la discretizzazione spaziale.

Gli elementi finiti si prestano bene a maglie irregolari. Possono essere basati su principi variazionali, ma sono generalmente generalizzati utilizzando il metodo dei residui ponderati. È facile sviluppare librerie di elementi che usano diversi ordini polinomiali e impongono vincoli come l'incomprimibilità usando i moltiplicatori di Lagrange.

Entrambe le formulazioni sono il mezzo per raggiungere un fine: esprimere un'equazione differenziale in termini di sistemi di equazioni e algebra lineare.

Le dichiarazioni sulla velocità di un metodo rispetto a un altro devono essere qualificate descrivendo l'algoritmo. Ad esempio, il lancio di problemi meccanici come problemi di dinamica iperbolica può dare risultati più rapidi in alcuni casi, poiché sostituiscono la decomposizione della matrice con la moltiplicazione e l'aggiunta.

Devo ammettere che so molto di più sui metodi agli elementi finiti di quanto non facciano le differenze finite. FEM è disponibile in pacchetti commerciali e viene ampiamente utilizzato nell'industria e nel mondo accademico per risolvere problemi di meccanica solida e trasferimento di calore. Credo che le differenze finite o gli approcci a volume finito siano usati nella fluidodinamica computazionale.

— duffymo
fonte

1

Ci sono molte persone che fanno CFD con FEM. :)

— Bill Barth l'

1

Concordato. Devo ammettere che non ho la sensazione della prevalenza di ogni tecnica ora. Sto basando la mia opinione su un campione molto piccolo: amici che fanno CFD nell'industria. Stanno usando FD per la maggior parte.

— Duffymo,