Decomposizione autovalore della somma: A (simmetrica) + D (diagonale)

Supponiamo è una matrice reale simmetrica e la sua decomposizione autovalore è dato. È facile vedere cosa succede con gli autovalori della somma dove è una costante scalare (vedi questa domanda ). Possiamo trarre qualche conclusione nel caso generale cui è una matrice diagonale arbitraria? Grazie. $A$ $V \Lambda V^T$ $A + cI$ $c$ $A + D$ $D$

Saluti,

Ivan

linear-algebra

— Ivan
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Puoi ottenere risposte migliori se specifichi a quale tipo di conclusioni sei interessato.

— David Ketcheson

@DavidKetcheson, sì, hai assolutamente ragione. In realtà, sto cercando di trovare un modo efficiente per calcolare una sequenza di esponenziali di matrice della forma dove è fisso e sono matrici diagonali. Speravo di eseguire la decomposizione dell'autovalore di solo una volta e poi usarlo in qualche modo per spiegare la correzione introdotta dalle matrici diagonali. Sfortunatamente, e non sono in pendolarismo in generale, quindi . Le sarei grato se potessi condividere qualche idea al riguardo. Grazie.

e^{A + D_{i}}

$e^{A + D_i}$

A

$A$

D_{i}

$D_i$

A

$A$

A

$A$

D_{i}

$D_i$

e^{A + D_{i}} \neq e^{A} e^{D_{i}}

$e^{A + D_i} \neq e^A e^{D_i}$

— Ivan,

Questo è legato a scicomp.stackexchange.com/questions/503/…

— Geoffrey Irving

Risposte:

Si può dire molto poco, tranne che per generalità come ad esempio che gli autovalori cambiano continuamente con le voci di . $D$

Si può vedere dal calcolo simbolico nel caso 2 per 2 che non ci si può aspettare nulla di forte.

— Arnold Neumaier
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Grazie per la risposta, sapevo che avrei sentito qualcosa del genere. Per favore, posso chiederti di dare un'occhiata al mio commento qui sopra.

— Ivan,

la complessità del calcolo esponenziale di una matrice e quella del calcolo di una fattorizzazione spettrale sono quasi le stesse. Quindi no, non esiste una soluzione semplice. Cosa puoi fare, tuttavia, nel caso in cui le tue matrici diagonali si trovino in un sottospazio di bassa D, per calcolare la parte rilevante dell'esponenziale (o effettivamente, qualunque cosa tu voglia calcolare da esso) per una serie di scelte specifiche ben distribuite nel tuo spazio dei valori desiderati, quindi utilizzare un algoritmo di interpolazione per approssimare tutti gli altri.

— Arnold Neumaier,

Sì, so che le decomposizioni spettrali non sono economiche, ciò che intendevo è che se una tale decomposizione fosse necessaria per essere eseguita una sola volta per (dopo averlo fatto, è semplicemente ) e tutto esponenti con potrebbero in qualche modo derivare da questa singola decomposizione, quindi sarebbe ragionevole impiegarlo. Altrimenti, sono abbastanza sicuro che sia una perdita di tempo. Grazie per il suggerimento sull'interpolazione, devo leggere un po 'a riguardo.

A

$A$

e^{A}

$e^A$

V e^{Λ} V^{T}

$V e^\Lambda V^T$

A + D_{i}

$A + D_i$

— Ivan,

Volevo dire che se ci fosse un modo più economico per calcolare l'esponenziale quando cambia, ce ne sarebbe anche uno per il problema degli autovalori. Ma non ce n'è uno.

D

$D$

— Arnold Neumaier,

Ming Gu e Stanley C. Eisenstat hanno già studiato questo problema, vedere il link: http://www.cs.yale.edu/publications/techreports/tr916.pdf

Questo documento risolve il problema di permutazione di primo livello, che non può risolvere il problema qui. Se qualcuno incontra il problema di permutazione di primo livello, aiuta.

— skyuuka
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L'aggiunta di una matrice diagonale non è una correzione di grado uno, quindi non sono sicuro di come questo documento possa essere d'aiuto in questo caso.

— Christian Clason,

@ChristianClason: Giusto! Me ne rendo conto. Grazie per segnalarlo!

— skyuuka,