Come tentare con intelligenza di escludere la convessità?

Voglio minimizzare una funzione oggettiva complicata e non sono sicuro che sia convessa. C'è un simpatico algoritmo che tenta di dimostrare che non è convesso? Naturalmente l'algoritmo potrebbe non riuscire a dimostrarlo, nel qual caso non saprei se è convesso o no, e questo è OK; Voglio solo provare a escludere la convessità prima di passare molto tempo a cercare di determinare analiticamente se la funzione obiettivo è convessa, ad esempio cercando di riscrivere il problema in una forma standard nota per essere convessa. Un test rapido sarebbe cercare di minimizzare da vari punti di partenza e se in questo modo si trovano più minimi locali, allora non è convesso. Ma mi chiedevo se esiste un algoritmo migliore progettato con questo obiettivo in mente.

Una funzione convessa deve soddisfare per tutti e nel dominio di definizione. Potresti semplicemente provare a verificare questa formula per un gran numero di coppie e un paio di valori , ad esempio .α ∈ ( 0 , 1 ) x , y x , y α α = { 1 / 4 , 1 / 2 , 3 / 4 $f(\alpha x + (1-\alpha)y) \le \alpha f(x) + (1-\alpha)f(y)$$\alpha\in(0,1)$$x,y$$x,y$$\alpha$$\alpha=\{1/4,1/2,3/4\}$

Per una serie di test di verifica di convessità / non convessità praticamente utili, vedi (autosclaimer, sono il terzo autore in questo documento):

R. Fourer, C. Maheshwari, A. Neumaier, D. Orban e H. Schichl, Convessità e rilevamento di concavità nei grafici computazionali. Tree Walks for Convexity Assessment, INFORMS J. Computing 22 (2010), 26-43.

Si noti che ci sono molte funzioni che sono convesse nel dominio di interesse ma che non possono essere facilmente "disciplinate", cioè scritte in una delle forme richieste dai solutori convessi strutturati come CVX .

Una funzione può essere non convessa senza avere minimi multipli. Esistono vari metodi di ottimizzazione che applicano iterazioni di gradiente coniugato (lineari o non lineari), troncate quando viene calcolata una norma negativa per l'operatore. Il valore negativo indica una direzione di curvatura negativa (che non può verificarsi per i funzionali convessi). Se si incontra raramente una curvatura negativa, questi metodi convergono in un numero limitato di iterazioni di ottimizzazione. (Se è disponibile un precondizionatore di qualità, anche i passaggi interni dovrebbero convergere rapidamente.)