Difficoltà con il metodo spettrale usando i polinomi di Chebyshev

Sto avendo un po 'di difficoltà nel cercare di capire un documento. L'articolo utilizza il metodo spettrale per risolvere un autovalore che proviene da un sistema di ODE accoppiati. Scriverò solo un'equazione ora, perché è abbastanza per arrivare al nocciolo delle mie domande.

L'equazione è

$V[r] = \frac{e^{-(\nu[r] +\lambda[r])}}{\epsilon[r] + p[r]} *\biggr[ (\epsilon[r] + p[r])( e^{\nu[r] +\lambda[r]})r W[r] \biggr]'$

Eseguo il derivato e ottengo

(Eq1) $V = \biggr[ \frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} + r(\nu'+\lambda') +1 \biggr] W + r W'$

Ora, secondo l'articolo, dovrei essere in grado di espandere le quantità di equilibrio ) del sistema come Polinomi di Chebyshev della forma $(\epsilon ,p ,\nu ,\lambda$

$B[r] = \Sigma_{i=0}^{\infty}b_i T_i[y] - \frac{1}{2} b_0$ , dove sono i polinomi. So come ottenere il usando il codice che ho scritto in Mathematica. Anche e il dominio di è . $T_i[y]$ $b_i$ $y = 2(r/R) -1$ $r$ $(0,R)$

L'articolo afferma inoltre che le funzioni ( ) possono essere espanse come e che in generale un termine come può essere espresso come $V,W$ $F[r] = (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}f_i T_i[y] - \frac{1}{2} f_0$ $B[r]F[r]$

$B[r]F[r] = \frac{1}{2} (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty} \pi_i T_i[y] - \frac{1}{2} \pi _0$

dove e per e uguale a 1 per . $\pi_i = \Sigma_{j=0}^{\infty}[b_{i+j} + \Theta(j-1)b_{|i-1|} ] f_l$ $\Theta(k) = 0$ $k<0$ $k\geq 0$

Detto questo, diciamo che faccio le seguenti funzioni di equilibrio

$\frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} = B_1[r]$ e , quindi l'Eq1 diventa $r(\nu'+\lambda') = B_2[r]$

(Eq2) . $\bigg((\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}v_i T_i[y] - \frac{1}{2} v_0 \bigg) = \biggr[ B_1[r] + B_2[r] +1 \biggr] \biggr( (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}w_i T_i[y] - \frac{1}{2} w_0 \biggr) + r W'$

Domanda 1: cosa devo fare con i termini ? I polinomi sono funzioni di quindi come posso anche avere un'espansione come funzione X di [y]? Inoltre, sembra che posso semplicemente dividerli su ciascun lato dell'equazione, quindi qual era il punto di introduzione di quel termine? Voglio dire, secondo l'articolo questo termine dovrebbe imporre la condizione al contorno che vada a zero come vada a zero. $(\frac{r}{R})^l$ $[y]$ $B[r]= (\frac{r}{R})^l$ $V,W$ $r$

* Domanda2: * Come dovrei affrontare la nel termine . L'articolo fornisce una descrizione di come gestire i termini derivati, ma per quanto riguarda la stessa . Dovrei trattarlo come un valore di equilibrio e usare la regola per termini come o dovrei esprimere questo in termini di . O dovrei fare qualcos'altro del tutto? $r$ $r*W'$ $r$ $B[r]F[r]$ $r$ $y$

eigenvalues polynomials spectral-method

— tau1777
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Forse puoi collegarti al documento a cui ti riferisci?

— Aron Ahmadia,

Ciao Aron, ecco il link arxiv.org/pdf/gr-qc/0210102.pdf Le cose numeriche con cui ho problemi sono descritte nell'Appendice A, e l'equazione che stavo esaminando sopra è l'equazione (19). Grazie.

— tau1777,

Nota che stesso è una funzione (lineare) di (e quindi di ).

y

$y$

\frac{r}{R}

$\frac{r}{R}$

r

$r$

— Christian Clason,

Non sono sicuro che sia possibile rispondere alla domanda senza una lettura dettagliata del documento. Ma per quanto riguarda la prima domanda, hai . E questo fattore non può essere diviso in quanto non moltiplica tutti i termini. $r/R = (y+1)/2$

Per la domanda 2: poiché questa equazione deve essere utilizzata per applicare la condizione al contorno a , penso che il termine che menzioni dovrebbe svanire. $r=0$

— David Ketcheson
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