Schema delle differenze finite per "equazione delle onde", metodo delle caratteristiche

Considera il seguente problema cui il termine di forzatura può dipendere da (vedi Modifica 1 di seguito per la formulazione) e e i suoi primi derivati. Questa è un'equazione d'onda dimensionale 1 + 1. Abbiamo i dati iniziali prescritti a .

W_{u v} = F

$W_{uv} = F$

u, v

$u,v$

W

$W$

{u + v = 0}

$\{u+v = 0\}$

Sono interessato alla soluzione all'interno del dominio di dipendenza di un intervallo e sto prendendo in considerazione il seguente schema delle differenze finite.

{u + v = 0, u \in [- u_{M}, u_{M}]}

$\{ u+v = 0, u \in [- u_M,u_M]\}$

L'obiettivo è far evolvere di e similmente . Questo schema è integrabile nel senso che $W_u$ $W_u(u,v+1) - W_u(u,v) = F(u,v)$ $W_v(u+1,v) - W_v(u,v) = F(u,v)$ $W (u, v) + W_{u} (u, v) + W_{v} (u + 1, v) = W (u + 1, v + 1) = W (u, v) + W_{v} (u, v) + W_{u} (u, v + 1)$ $W(u,v) + W_u(u,v) + W_v(u+1,v) = W(u+1,v+1) = W(u,v) + W_v(u,v) + W_u(u,v+1)$ così posso costantemente calcolare dai dati iniziali integrando verso l'alto; quindi ho solo bisogno di guardare le equazioni di evoluzione per e . $W$ $W_v$ $W_u$
Per i dati iniziali, abbiamo bisogno della condizione di compatibilità . Che suggerisce che posso calcolare i dati iniziali utilizzando l'avanti (in ) differenze finite di sul tempo iniziale con i valori di proposta $W_u(u,v) - W_v(u+1,v-1) = W(u+1,v-1) - W(u,v)$ $u$ $W$ $W_t$ in punti di mezzo intero . $(u+0.5,v-0.5)$

Domanda :

È uno schema ben noto? In particolare, dove posso trovare l'analisi di questo schema?
Qualcosa di ovvio che dovrei cercare?

Sfondo : fingi di non sapere quasi nulla (il che è probabilmente vero, dato che sono un matematico puro che cerca di imparare un po 'di macchine per il calcolo).

Edit 1 : Giusto per chiarire (per affrontare alcuni commenti): l'equazione coordinate sarebbe e e sono coordinate nulle date da (fino ad alcuni fattori di renormalising 2) e . Quindi i dati iniziali su sono in effetti su . $x$ $t$

W_{t t} - W_{x x} = F

$W_{tt} - W_{xx} = F$

u

$u$

v

$v$

u = t + x

$u = t+x$

v = t - x

$v = t-x$

{u + v = 0}

$\{u+v = 0\}$

{t = 0}

$\{t = 0\}$

Quindi, invece di una mesh adattata a considero una mesh adattata a che è ruotata di 45 gradi. Rispetto alla dove accetta valori interi, si può pensare che la maglia abbia punti aggiuntivi in cui entrambi (ma non solo uno) e accettano valori di mezzo intero. $(t,x)$ $(u,v)$ $(t,x)$ $t,x$ $u,v$ $t$ $x$

finite-difference reference-request hyperbolic-pde

— Willie Wong
fonte

Sono un po 'confuso dai tuoi abbonamenti, ma questo mi sembra una sorta di formulazione nel dominio del tempo con differenze finite . . . forse con una formula a maglie sfalsate (mezze indici?).

— meawoppl,

u, v

$u,v$

x, t

$x,t$

u, v

$u,v$

45^{\circ}

$45^\circ$

x, t

$x,t$

Ho modificato per chiarire (la spiegazione di Wolfgang Bangerth è ciò che avevo in mente).

— Willie Wong,

Risposte:

C'è sicuramente letteratura su schemi come questo. Sono due parole chiave

Metodo di caratteristiche modificato
Schemi semi-lagrangiani

Dopo 20 minuti di ricerche su Google: alcuni articoli forse importanti sono http://dx.doi.org/10.1137/0719063 e http://dx.doi.org/10.1137/0728024 (ricerca in avanti da lì). Questi probabilmente non sono i migliori riferimenti là fuori, ma dovrebbero essere un punto di partenza per farti entrare nella giusta letteratura.

W_{t t} - W_{x x} = F

$W_{tt}-W_{xx} = F$

u = t + x, v = t - x .

$u = t+x, \ \ \ \ v = t-x.$ , entrambi accurati al primo ordine.

$F=0$ $F$ $F=0$ $F$ $F$ ha autovalori puramente immaginari, lo schema sarà instabile.

L'approccio di discretizzazione generale per ridurre un PDE a un sistema di ODE (come nel tuo metodo) è noto come metodo delle linee. Come con qualsiasi metodo di discretizzazione delle linee, è possibile aumentare l'ordine di precisione utilizzando un solutore ODE di ordine superiore e si potrebbe migliorare la stabilità utilizzando un solutore ODE implicito appropriato (con il conseguente aumento del costo computazionale per passo).

— David Ketcheson
fonte

"ma Google ti aiuterà di più" In realtà questo è uno dei grandi problemi. Non sono esattamente sicuro di cosa chiedere a Google (sospetto che la letteratura numerica possa usare termini diversi dalla pura letteratura). Se puoi suggerire alcune parole chiave che dovrei cercare, ti sarei grato. ("Il metodo delle linee", ad esempio, mi sta indicando una vera ricchezza di informazioni [forse anche un po 'troppo per essere in grado di filtrare :-)].)

— Willie Wong,

@WillieWong - Un riferimento per le equazioni iperboliche che citiamo comunemente sono i metodi a volume finito di LeVeque per i problemi iperbolici . Non sono sicuro che questo sia il riferimento giusto per te per iniziare, ma ti fornirà almeno un'introduzione ai termini e alle tecniche sul campo.

— Aron Ahmadia,

Va bene, ho aggiunto alcune parole chiave e riferimenti. Spero che aiutino.

— David Ketcheson,

Mille grazie per i riferimenti! Mi ha dato un buon inizio.

— Willie Wong,

A partire da dove David Ketcheson mi ha lasciato nella sua risposta, un po 'più di ricerca ha rivelato alcune note storiche.

Lo schema che ho delineato in precedenza è stato preso in considerazione già nel 1900 da J. Massau, nel Mémoire sur l'intégration graphique des équations aux dérivées partielles . L'opera viene ripubblicata nel 1952 da G. Delporte, mons.

La prima (seppur breve) analisi moderna della sua convergenza e simili fu data da Courant, Friedrichs e Lewy nel loro classico documento del 1928 in matematica. Ann.

— Willie Wong
fonte

Wow, non posso credere di non essermi reso conto che questo era nel documento CFL ...

— David Ketcheson,