Buoni esempi di "due è facile, tre è difficile" nelle scienze computazionali

Di recente ho incontrato una formulazione del meta-fenomeno : " due è facile, tre è difficile " (così definito da Federico Poloni), che può essere descritto come segue:

Quando viene formulato un determinato problema per due entità, è relativamente facile da risolvere; tuttavia, un algoritmo per una formulazione di tre entità aumenta enormemente la difficoltà, forse persino rendendo la soluzione non fattibile o non realizzabile.

_{(Accolgo con favore suggerimenti per rendere il fraseggio più bello, conciso e preciso.)}

Quali buoni esempi in varie aree delle scienze computazionali (a partire dalla pura algebra lineare e terminando con una fisica computazionale a termine generale) conosci?

Un esempio che appare in molte aree della fisica, e in particolare della meccanica classica e della fisica quantistica, è il problema dei due corpi. Il problema dei due corpi qui significa il compito di calcolare la dinamica di due particelle interagenti che, per esempio, interagiscono con le forze gravitazionali o di Coulomb. La soluzione a questo problema può essere spesso trovata in forma chiusa mediante una trasformazione variabile in centro di massa e coordinate relative.

Tuttavia, non appena si considerano tre particelle, in generale non esistono soluzioni in forma chiusa .

Un esempio famoso è il problema booleano di soddisfacibilità (SAT). 2-SAT non è complicato da risolvere in tempo polinomiale, ma 3-SAT è NP-completo.

In una e due dimensioni, tutte le strade portano a Roma, ma non in tre dimensioni.

In particolare, data una camminata casuale (ugualmente probabile che si muova in qualsiasi direzione) sugli interi in una o due dimensioni, quindi indipendentemente dal punto di partenza, con probabilità una (aka quasi sicuramente), la camminata casuale alla fine raggiungerà uno specifico designato punto ("Roma").

Tuttavia, per tre o più dimensioni, la probabilità di arrivare a "Roma" è inferiore a una; con la probabilità che diminuisce all'aumentare del numero di dimensioni.

Quindi, ad esempio, se si esegue una simulazione stocastica (Monte Carlo) di una camminata casuale a partire da "Roma", che si interromperà quando si ritorna a Roma, quindi in una e due dimensioni, si può essere certi di tornare infine a Roma e interrompere la simulazione - così facile. In tre dimensioni, potresti non tornare mai indietro, così difficile.

https://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk#Higher_dimensions

Per visualizzare il caso bidimensionale, si può immaginare una persona che cammina a caso in una città. La città è effettivamente infinita e disposta in una griglia quadrata di marciapiedi. Ad ogni incrocio, la persona sceglie casualmente una delle quattro possibili rotte (compresa quella originariamente percorsa). Formalmente, questa è una passeggiata casuale sul set di tutti i punti nel piano con coordinate intere.

La persona tornerà mai al punto di partenza originale della passeggiata? Questo è l'equivalente bidimensionale del problema del passaggio a livello sopra discusso. Nel 1921 George Pólya dimostrò che la persona sarebbe quasi sicuramente in una passeggiata casuale bidimensionale, ma per 3 dimensioni o più, la probabilità di tornare all'origine diminuisce all'aumentare del numero di dimensioni. In 3 dimensioni, la probabilità diminuisce a circa il 34%

Vedi http://mathworld.wolfram.com/PolyasRandomWalkConstants.html per i valori numerici.

Eccone uno vicino al cuore dei collaboratori di SciComp.SE:

Il problema dell'esistenza e della scorrevolezza di Navier – Stokes

La versione tridimensionale è ovviamente un famoso problema aperto e oggetto di un premio Clay Millenium da un milione di dollari. Ma la versione bidimensionale è già stata risolta molto tempo fa, con una risposta affermativa. Terry Tao osserva che la soluzione risale essenzialmente alla tesi di Leray del 1933!

Perché il problema tridimensionale è molto più difficile da risolvere? La risposta standard ondulata dalla mano è che la turbolenza diventa significativamente più instabile in tre dimensioni rispetto a due. Per una risposta matematicamente più rigorosa, dai un'occhiata alla dichiarazione ufficiale sui problemi di Charles Fefferman al Clay Institute o alla bella esposizione di Terry Tao sulle possibili strategie di prova .

Nella teoria della scelta sociale, progettare uno schema elettorale con due candidati è facile (regole della maggioranza), ma progettare uno schema elettorale con tre o più candidati comporta necessariamente un compromesso tra varie condizioni ragionevoli. ( Teorema dell'impossibilità di Arrow ).

$A_1$$A_2$

Tuttavia, quando è richiesta la riduzione simultanea di tre matrici in una forma canonica (condizione più debole rispetto a quanto sopra):

Fonte: CF van Loan, "Lezione 6: Decomposizione del valore singolare generalizzato di ordine superiore", CIME-EMS Summer School, Cetraro, Italia, giugno 2015.

Ci sono molti esempi nell'informatica quantistica, sebbene ne sia rimasto fuori per un po 'e quindi non ricordo molti. Uno dei principali è che l'entanglement bipartito (entanglement tra due sistemi) è relativamente facile, mentre l'entanglement tra tre o più sistemi è un pasticcio irrisolto con probabilmente un centinaio di articoli scritti sull'argomento.

$\max\left(u_a v_b w_c T^{abc} / \left\lVert u \right\rVert \left\lVert v \right\rVert \left\lVert w \right\rVert \right)$

Questo documento sembra rilevante, anche se non l'ho letto: la maggior parte dei problemi tensoriali sono NP-difficili

La bisettrice angolare con la retta e la bussola è semplice, la trisection angolare è generalmente impossibile.

Inferenza del tipo per i tipi di rango-n . L'inferenza del tipo per il livello 2 non è particolarmente difficile, ma l'inferenza del tipo per il livello 3 o superiore è indecidibile.

Eccone uno pulito dall'ottimizzazione: l'algoritmo ADMM (Alternating Direction Method of Multipliers).

Data una funzione oggettiva disaccoppiata e convessa di due variabili (le variabili stesse potrebbero essere vettori) e un vincolo lineare che accoppia le due variabili:

La funzione Lagrangiana aumentata per questo problema di ottimizzazione sarebbe quindi

L'algoritmo ADMM funziona approssimativamente eseguendo una divisione "Gauss-Seidel" sulla funzione Lagrangiana aumentata per questo problema di ottimizzazione minimizzando prima rispetto a (mentre rimangono riparato), quindi minimizzando rispetto a (mentre rimangono fissi), quindi aggiornando . Questo ciclo prosegue fino al raggiungimento di un criterio di arresto.$L_{\rho}(x_1, x_2, \lambda)$$x_1$$x_2, \lambda$$L_{\rho}(x_1, x_2, \lambda)$$x_2$$x_1, \lambda$$\lambda$

(Nota: alcuni ricercatori come Eckstein scartano la vista di divisione di Gauss-Siedel a favore degli operatori prossimali, ad esempio vedi http://rutcor.rutgers.edu/pub/rrr/reports2012/32_2012.pdf )

Per problemi convessi, questo algoritmo ha dimostrato di convergere, per due serie di variabili. Questo non è il caso di tre variabili. Ad esempio, il problema di ottimizzazione

Anche se tutte le sono convesse, l'approccio simil-ADMM (minimizzando il Lagrangian aumentato rispetto a ciascuna variabile , quindi aggiornando la doppia variabile ) NON è garantito per convergere, come è stato mostrato in questo documento.$f$$x_i$$\lambda$

https://web.stanford.edu/~yyye/ADMM-final.pdf

Piegare un pezzo di carta a metà senza strumenti è facile. Piegarlo in terzi è difficile.

La fattorizzazione di un polinomio con due radici è facile. Il factoring di un polinomio con tre radici è significativamente più complicato.

Una curva regolare di grado 2 (cioè data come soluzione di dove è un polinomio di grado 2) con un dato punto è razionale , nel senso che può essere parametrizzata da quozienti di polinomi, di grado 3 non lo è. I primi sono considerati ben compresi, i secondi, chiamati curve ellittiche quando viene individuato un punto base, ovvero una soluzione specifica, sono oggetto di intense ricerche.$f(x,y) = 0$$f$

Questa differenza ha diverse implicazioni:

• Nel grado 2 ci sono algoritmi per trovare tutti i punti razionali (soluzioni in numeri razionali), nel grado 3 non è noto tale algoritmo.
• Gli integrali che coinvolgono con di grado 1 o 2 hanno soluzioni in funzioni elementari, ma non per di grado 3 o superiore.$\sqrt{f(x)}$$f$$f$
• Il problema del logaritmo discreto è trattabile su curve di grado 2, quindi non adatto per applicazioni crittografiche, mentre la presunta durezza dello stesso problema su curve ellittiche è alla base di alcuni dei più popolari sistemi di crittografia a chiave pubblica.

La TREEfunzione.

Possiamo calcolare TREE(2) = 3, ma TREE(3)non è calcolabile nella vita dell'universo, sappiamo solo che è finito.

In uno spazio bidimensionale, è possibile introdurre una struttura complessa, che può essere utilizzata per risolvere elegantemente molti problemi (ad esempio potenziali problemi di flusso ), ma non esiste un analogo in 3 dimensioni.

Nella fisica quantistica di molti corpi, studiamo reticoli diversi di n spin nel quadro di diversi modelli (ad esempio modello di Heisenberg, modello di Bose-Hubbard, modello di Ising, ...). Naturalmente hai diversi metodi numerici per studiarli (DMRG, diagonalizzazione esatta, reti neurali, ...) e uno dei motivi per cui proviamo a sviluppare metodi diversi è perché non puoi risolvere questi modelli quando n diventa troppo "alto" , ed è ovviamente peggio se studi in dimensioni superiori. Ad esempio, per il modello Ising, la diagonalizzazione esatta funziona bene in 1 g per n non superiore a 20. Quindi, per n più alto, si prova un altro metodo: DMRG. Ma questi ultimi funzionano davvero bene per n più alto (come n = 70 ma non bene per n più alto). Ancora una volta, vuoi un altro metodo per reti n: neurali superiori (cioè intelligenza artificiale). E oltre alle reti neurali, puoi studiare "più facilmente" (cioè con n relativamente più alti) questi modelli in dimensioni più elevate (ma per dimensione = 3 e piccola n, ad esempio, ci vogliono ancora molte ore (diversi giorni) per ottenere lo stato fondamentale o il osservabile che volevi ...). Bref, quando n diventa "troppo alto" per i tuoi metodi numerici (ma anche la capacità del tuo computer) devi eseguire nuovi metodi (e se puoi, usa un supercomputer) ed è lo stesso problema con la dimensione del tuo sistema, ma ovviamente peggio perché sei rapidamente bloccato (dimensione = 4 è difficile da ottenere, tranne se aspetti molto tempo ...). ci vogliono ancora molte ore (diversi giorni) per ottenere lo stato fondamentale o l'osservabile che volevi ...). Bref, quando n diventa "troppo alto" per i tuoi metodi numerici (ma anche la capacità del tuo computer) devi eseguire nuovi metodi (e se puoi, usa un supercomputer) ed è lo stesso problema con la dimensione del tuo sistema, ma ovviamente peggio perché sei rapidamente bloccato (dimensione = 4 è difficile da ottenere, tranne se aspetti molto tempo ...). ci vogliono ancora molte ore (diversi giorni) per ottenere lo stato fondamentale o l'osservabile che volevi ...). Bref, quando n diventa "troppo alto" per i tuoi metodi numerici (ma anche la capacità del tuo computer) devi eseguire nuovi metodi (e se puoi, usa un supercomputer) ed è lo stesso problema con la dimensione del tuo sistema, ma ovviamente peggio perché sei rapidamente bloccato (dimensione = 4 è difficile da ottenere, tranne se aspetti molto tempo ...).
Naturalmente, qui, ci sono ulteriori informazioni aggiuntive alla tua domanda perché in realtà, nella fisica quantistica di molti corpi, n = 3 non è elevato (ma se prendi un reticolo che è un ipercubo, non puoi prendere n = 3 di corso (a causa delle condizioni)).

Mondo reale:

Automazione% - ad es. È facile automatizzare qualcosa nel 30% o nel 50% o nell'80% nel frattempo è difficile andare ad esempio al di sopra del 95% e incredibilmente difficile o quasi impossibile raggiungere il 100%.