Comprensione delle condizioni di Wolfe per una ricerca inesatta della linea

Secondo Nocedal & Wright's Book Numerical Optimization (2006), le condizioni di Wolfe per una ricerca inesatta della linea sono, per una direzione di discesa ,$p$

Riduzione sufficiente: Condizione di curvatura: per∇ f ( x + α p ) T p ≥ c 2 ∇ f ( x ) T p 0 < c 1 < c 2 < $f(x+\alpha p)\le f(x)+c_1\alpha_k\nabla f(x)^T p$
$\nabla f(x+\alpha p)^Tp\ge c_2 \nabla f(x)^T p$
$0<c_1<c_2<1$

Vedo come la condizione di riduzione sufficiente indica che il valore della funzione nel nuovo punto deve essere sotto la tangente in . Ma non sono sicuro di ciò che la condizione di curvatura mi sta dicendo geometricamente. Inoltre, perché deve essere imposta la relazione ? Cosa compie questo, geometricamente?x c 1 < c $x+\alpha p$$x$$c_1<c_2$

La condizione di curvatura dice sostanzialmente questo: Sappiamo che (perché è una direzione di discesa). Quindi, in direzione , scende. Ora stiamo cercando un minimo, ovvero un punto in cui . Ciò significa che non vogliamo accettare lunghezze di passo dove il gradiente nella direzione , cioè, è ancora negativo come lo è in x. Piuttosto, vogliamo fermarci in un punto in cui il gradiente è meno negativo o addirittura positivo.p $\nabla f(x)\cdot p < 0$$p$$p$x + α p p ∇ f ( x + α p ) ⋅ $\nabla f=0$$x+\alpha p$$p$$\nabla f(x+\alpha p) \cdot p$

Poiché il lato destro della condizione di curvatura è negativo, una variante comune della condizione è richiedereche di solito trovo più facile da capire.

Comprendere questo ti permetterà di costruire facilmente casi in cui non puoi soddisfare entrambe le condizioni a meno che .$c_1<c_2$