Matematicamente, perché funziona la matrici di massa / il vettore di carico?

So che le persone spesso sostituiscono matrici di massa coerenti con matrici diagonali raggruppate. In passato, ho anche implementato un codice in cui il vettore di carico è assemblato in modo aggregato anziché in modo coerente con FEM. Ma non ho mai esaminato il motivo per cui ci è permesso farlo in primo luogo.

Qual è l'intuizione dietro il grumo che consente di applicarlo ai vettori di massa e di carico? Qual è la giustificazione matematica per questo? In quali situazioni il lump non è consentito / non è una buona approssimazione per i vettori di massa e di carico?

Nel metodo degli elementi finiti, le voci matrice e le voci sul lato destro sono definite come integrali. In generale, non possiamo calcolarli esattamente e applicare la quadratura. Ma ci sono molte formule di quadratura che si potrebbero scegliere e spesso le si sceglie in modo tale che (i) l'errore introdotto dalla quadratura sia dello stesso ordine di quello dovuto alla discretizzazione, o almeno non sostanzialmente peggiore, e (ii) la matrice ha alcune proprietà che risultano essere convenienti.

Il lumping di massa è un esempio di questo lavoro: se si sceglie una particolare formula di quadratura (cioè quella con punti di quadratura situati nei punti di interpolazione dell'elemento finito), allora la matrice di massa risultante risulta diagonale. È abbastanza conveniente per l'implementazione computazionale e il motivo per cui le persone usano queste formule di quadratura. È anche il motivo per cui "funziona": questa particolare scelta della formula in quadratura ha ancora un ordine ragionevolmente elevato.

Le matrici diagonali hanno evidenti vantaggi nell'accelerare i calcoli numerici e la risposta di Wolfgang Bangerth è una buona spiegazione di come calcolare una matrice di massa diagonale, ma non risponde alla domanda del PO "perché funziona " nel senso di "perché è è una buona approssimazione alla fisica che stai modellando ".

Concettualmente, è possibile separare la risposta di un elemento in tre parti: movimento traslazionale di un corpo rigido, rotazione rigida attorno al centro della massa dell'elemento e deformazione dell'elemento.

$\frac 1 2 v^T M v$$v$

$a$$a^3$$a^5$

Pertanto, hai davvero solo bisogno di una "buona" approssimazione alle parti del corpo rigide del movimento, cioè 6 DOF, e in effetti una buona approssimazione al solo KE dalla traduzione del corpo rigido , cioè 3 DOF, convergeranno man mano che la dimensione dell'elemento è ridotto.

I termini diagonali della matrice degli elementi contengono parametri indipendenti più che sufficienti per rappresentare quei 3 o 6 termini KE con sufficiente precisione. In effetti, per elementi di ordine superiore, è possibile utilizzare matrici di massa diagonali di massa in cui i termini diagonali per i nodi del lato medio sono zero.

Si noti che questa è una situazione completamente diversa dall'energia potenziale dell'elemento, in cui i contributi della traslazione e della rotazione del corpo rigido sono zero e l'unica cosa che conta è rappresentare l'energia di deformazione corrispondente alla deformazione dell'elemento . Una matrice di rigidità diagonale non sarebbe quindi un'idea fattibile!

Oltre alle altre risposte, ci sono scenari in cui gli errori nella matrice di massa non hanno influenza sul risultato desiderato.

Dato un problema di deformazione non lineare della forma $K(u) \space u = f(u)$$\hat{u}$$K(u) \space u + C(u) \space \dot{u} + M \space \ddot{u} = f(u)$$M$$C$$\dot{u} = \ddot{u} = 0$$M$

$M$$M^{-1}$

^{1 Sebbene il ragionamento sul comportamento fisico dinamico sia ovviamente più semplice con una matrice di massa "corretta", ad esempio il momento angolare può essere conservato in modo improprio da matrici di massa raggruppate.}