Come integrare l'espressione polinomiale sull'elemento 3D a 4 nodi?


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Voglio integrare un'espressione polinomiale su un elemento a 4 nodi in 3D. Diversi libri su FEA trattano il caso in cui l'integrazione viene eseguita su un elemento arbitrario piatto a 4 non-non. La solita procedura in questo caso è trovare la matrice Jacobi e usare la sua determinante per cambiare la base di integrazione in quella normalizzata in cui ho i limiti di integrazione più semplici [-1; 1] e la tecnica di quadratura di Gauss-Legendre viene usata facilmente.

In altre parole Sf(x,y) dxdy1111f~(e,n) |det(J)|dedn

Ma nel caso 2D cambio l'elemento piatto arbitrario in quello piatto ma il quadrato ben formato 2 per 2.

L'elemento 3D a 4 nodi non è piatto in generale, ma suppongo che possa ancora essere mappato con un sistema di coordinate 2D che è in qualche modo correlato al sistema di coordinate cartesiane. Non riesco a capire come esprimere {x, y, z} in termini di {e, n} e quale sarebbe la dimensione della matrice Jacobi in questo caso (dovrebbe essere quadrata).

Domini 2D e 3D

Risposte:


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Stai integrando una funzione su una varietà bidimensionale incorporata in ; i libri in analisi sulle varietà (come il libro accessibile di Munkres o i libri di Lee sulle varietà) sono utili per discutere la teoria che definisce questo tipo di integrale.R3

Supponiamo che sia una funzione a valore reale definita sul collettore , che è l'elemento 3-D a 4 nodi.MfM

Vuoi calcolare:

MfdS.

Supponiamo che sia una funzione che mappa a . Poi[ - 1 , 1 ] 2 Mφ[1,1]2M

MfdS=[1,1]2f(φ(x,y))(det(DφT(x,y)Dφ(x,y)))1/2dxdy

(Ho usato questo set di note per rinfrescare la mia memoria.) Sopra, è la matrice giacobina di e è il suo recepimento.φ D φ TDφφDφT

Dopo aver scritto l'integrale su , è possibile utilizzare metodi numerici per valutarlo.[1,1]2

Alcuni commenti:

  • Sono abbastanza sicuro che il tuo elemento 3-D a 4 nodi sia una varietà. In tal caso, la funzione esiste (per definizione), è continua a tratti (per le varietà topologiche) ed è invertibile. Sta a te trovare una funzione con quelle proprietà.φ
  • L'argomento sopra presuppone che sia una varietà liscia, il che implica che esiste un che è continuamente differenziabile. Nel tuo caso, l'elemento che descrivi potrebbe non essere continuamente differenziabile. Se questo è vero, potresti probabilmente ancora suddividere il tuo collettore in due varietà lisce, e quindi l'argomento sopra vale ancora. Ancora una volta, è necessario trovare soddisfi le proprietà di invertibilità e differenziazione continua. φ φMφφ

Molte grazie. Il libro che sto leggendo copre solo il caso in cui una matrice Jacobi quadrata (2 per 2) è coinvolta per mantenere le cose semplici. L'espressione sopra se ho capito bene rende possibile usare matrici Jacobi di dimensioni arbitrarie (2 per 3). Sfortunatamente sto ancora ottenendo al momento, ma è molto meglio di prima. Creerò un altro thread sulla scelta corretta della funzione di mappatura. Grazie ancora. det(DφT(x,y)Dφ(x,y))=0
danny_23,

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La tua matrice giacobina dovrebbe essere 3 per 2, quindi dovrebbe essere una matrice 2 per 2. D φ T D φDφDφTDφ
Geoff Oxberry,

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Geoff, è corretto. Ho messo una semplice formula generale più un esempio elaborato qui: theoretical-physics.net/dev/src/math/integration.html
Ondřej Čertík
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