Voglio integrare un'espressione polinomiale su un elemento a 4 nodi in 3D. Diversi libri su FEA trattano il caso in cui l'integrazione viene eseguita su un elemento arbitrario piatto a 4 non-non. La solita procedura in questo caso è trovare la matrice Jacobi e usare la sua determinante per cambiare la base di integrazione in quella normalizzata in cui ho i limiti di integrazione più semplici [-1; 1] e la tecnica di quadratura di Gauss-Legendre viene usata facilmente.
In altre parole
Ma nel caso 2D cambio l'elemento piatto arbitrario in quello piatto ma il quadrato ben formato 2 per 2.
L'elemento 3D a 4 nodi non è piatto in generale, ma suppongo che possa ancora essere mappato con un sistema di coordinate 2D che è in qualche modo correlato al sistema di coordinate cartesiane. Non riesco a capire come esprimere {x, y, z} in termini di {e, n} e quale sarebbe la dimensione della matrice Jacobi in questo caso (dovrebbe essere quadrata).